Question

Задано вершини тетраедра. A1(4;-1;3), A2(-2;1;0), A3(0;-5;1), A4(3;2;-6) даю 60 баллов

Answer 1

Задано вершини тетраедра:

A1(4;-1;3), A2(-2;1;0), A3(0;-5;1), A4(3;2;-6).

Найти:

1) длину ребра  А1 А2 .      

Находим вектор  А1 А2 и его длину (модуль):

А1 А2  = (-2-4; 1-(-1); 0-3) = (-6; 2; -3).

|А1 А2 | = √((-6)² + 2² + (-3)²) = √(36 + 4 + 9) = √49 = 7.

2) угол между ребрами А1 А2 и А1 А3.

Вектор  А1 А2  = (-6; 2; -3), |А1 А2 | = 7.

Находим вектор  А1 А3 = (0-4; -5-(-1); 1-3) = (-4; -4; -2).

|А1 А3 | = √((-4)² + (-4)² + (-2)²) = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6.

cos(А1 А2_А1 А3) = (-6*(-4)+2*(-4)+(-3)*(-2)/(7*6) = (24 - 8 + 6)/42 = 22/42 = 11/21 ≈ 0,91045.  

Угол равен arccos 0,91045 = 0,42644 радиан или 24,4329 градуса.

3) каноническое уравнение прямой А1 А2  составляем по координатам точки A1(4;-1;3) и направляющему вектору А1 А2 (-6; 2; -3).

А1 А2 : (x – 4)/(-6) = (y + 1)/2 = (z – 3)/(-3).

4) площадь треугольника А1 А2 А3.  

Площадь грани А1 А2 А3 равна половине модуля векторного произведения векторов А1 А2(-6; 2; -3) и А1 А3 (-4; -4; -2).

Находим векторное произведение:

А1 А2 * А1 А3 =  I          j          k|         I           j

        А1 А2 =  -6          2        -3|       -6          2

        А1 А3 =   -4        -4        -2|       -4         -4 = -4i + 12j + 24k – 12j - 12i + 8k =  

                                                                      = -16i + 0j + 32k.

Нормальный вектор плоскости А1 А2 А3 равен (-16; 0; 32).

S(А1 А2 А3)= (1/2) √((-16)² + 0² + 32²) = (1/2) (√(256 + 0 + 1024) =  

                 = √1280/2 = 8√5 ≈ 17,8885 кв.ед.

5) Уравнение плоскости А1 А2 А3 составляем по найденному в пункте 4) нормальному вектору (-16; 0; 32) и координатам точки А1(4; -1; 3).

-16(x – 4) + 0(y + 1) + 32(z – 3) = 0,

-16x + 64 + 32z – 96 = 0,

-16x + 32z – 32 = 0 или, сократив на (-16): x - 2z + 2 = 0.

6) угол между гранями А1 А2 А3 и А1 А2 А4 находим по формуле:

cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|/(√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²)).

Для этого надо определить уравнение грани А1 А2 А4.

Вектор А1 А2 найден и равен (-6; 2; -3).

Находим вектор А1 А4  по точкам А1(4;-1;3), А4(3;2;-6).

А1 А4  = (3-4; 2-(-1); -6-3) = (-1; 3; -9).

Находим векторное произведение векторов А1 А2 и А1 А4  :

А1 А2 * А1 А4 =  I         j          k|         I           j

        А1 А2 =  -6         2        -3|       -6          2

        А1 А4 =   -1        3        -9|       -1         3 = -18i + 3j - 18k – 54j + 9i + 2k =  

                                                                      = -9i - 51j - 16k.

Нормальный вектор плоскости А1 А2 А4 равен (-9; -51; -16).

Нормальный вектор плоскости А1 А2 А3 равен (-16; 0; 32).

Подставим данные  в формулу.

cos α = |(-9)·(-16) + (-51)·0 + (-16)·32|/(√((-9)² + (-51)² + (-16)²)*√((-16)² + 0² + 32²)) = |144 + 0 + (-512)|/(√(81 + 2601 + 256)* √(256 + 0 + 1024)) =

= |-368|/√2938*√1280 = 23/√14690  = 23√14690/14690 ≈ 0,1898.

α = 79,0609°.

7) объём пирамиды равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов  

(А1 А2 х А1 А3)* А1 А4.

V = (1/6) (А1 А2 х А1 А3)* А1 А4.

(А1 А2 х А1 А3) = -16    0    32

             А1 А4 = -1     3     -9

                          16 + 0 - 288 = -272.

V = (1/6)*| -272| = 136/3 ≈ 45,333 куб. ед.

8) длина высоты из точки А4 на плоскость А1 А2  А3  – это расстояние от точки А4(3;2;-6) до плоскости А1 А2  А3  x - 2z + 2 = 0 .

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:

d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²)

Подставим в формулу данные:

d = |1·3 + 0·2 + (-2)·(-6) + 2|/√(1² + 0² + (-2)²) =  

|3 + 0 + 12 + 2|/√(1 + 0 + 4) =

= 17/√5 = 17/√5/5 ≈ 7,6026.