Question

Помогите пожалуйста решить.
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя.

Answer 1

lim x*[ln(3x-1)-ln(3x-2)]=x*ln((3x-1)/(3x-2))=

x*ln(1+1/(3x-2))

из 3-го замечательного предела ln((1+t))/t=1 при t-->0 следует что ln(1+t) эквивалентно t, поэтому заменяем ln(1+1/(3x-2)) на 1/(3x-2) и получим

lim(x/(3x-2)) далее делим числитель и знаменатель на Х и получим

lim(1/(3-2/.х) ) =1/3

хз может помог

Answer 2

докажем сначала, что

arcsin(y) эквивалентно y, при y -> 0, и

ln(1+y) эквивалентно y, при y -> 0.

lim arcsin(y)/y = [ t = arcsin(y), тогда sin(t) = y, t -> 0] = lim t/sin(t) = 1.

lim ln(1+y)/y = lim ln(1+y)^(1/y) = ln( lim (1+y)^(1/y) ) = ln e = 1.

При x -> 0, имеем 3x ->0 и 2x ->0.

Поэтому имеем

lim arcsin(3x)/ln(1+2x) = lim 3x/2x = 3/2 = 1,5