Question

Ученик за одну неделю получил 17 оценок каждая из них 2, 3, 4 или 5. Среднее арифметическое этих 17 оценок целое число. Докажите, что какую то оценку он получил не более двух раз.

Answer 1

Пусть это не так, и все оценки получены не менее трёх раз. 
Рассмотрим группу из трёх двоек, трёх троек, трёх четвёрок и трёх пятёрок; останутся нерассмотренными еще 5 каких-то оценок.
Сумма оценок в группе равна 3 * (2 + 3 + 4 + 5) = 42 = 8 mod 17

Для того, чтобы сумма всех оценок делилась на 17, необходимо, чтобы сумма оставшихся оценок давала 9 по модулю 17. Но так как минимальная возможная сумма пяти оценок 10, а максимальная 25, то этого произойти не может.