Question

Докажите, используя принцип математической индукции, что значение выражения 9^n - 8n - 1 делится на 16 при любом натуральном значении n.

Answer 1

1) Проверим справедливость утверждения при $n=1$:

$9^1 - 8\cdot1 - 1=9-8-1=0\ \vdots\ 16$

2) Предположим, что при $n=k$ утверждение справедливо, то есть:

$(9^k - 8k- 1)\ \vdots\ 16$

3) Докажем, что при $n=k+1$ справедливо утверждение:

$\left(9^{k+1} - 8(k+1)- 1\right)\ \vdots\ 16$

Доказательство. Преобразуем:

$9^{k+1} - 8(k+1)- 1=9\cdot9^k - 8k-8- 1=$

$=(9^k- 8k-1)+8\cdot9^k -8=(9^k- 8k-1)+8(9^k -1)$

Первое слагаемое $9^k- 8k-1$ делится на 16 по предположению, сделанному на втором шаге.

$9^{k+1} - 8(k+1)- 1=\underset{\vdots\ 16}{\underbrace{(9^k- 8k-1)}}+8(9^k -1)$

Рассмотрим второе слагаемое $8(9^k -1)$. Первый множитель 8 делится на 8. Заметим, что второй множитель является четным, так как выражение $9^k$ при $k\in\mathbb{N}$ дает нечетные числа, тогда числа вида $9^k -1$ являются четными. Таким образом, второе слагаемое делится на $8\cdot2=16$.

$9^{k+1} - 8(k+1)- 1=\underset{\vdots\ 16}{\underbrace{(9^k- 8k-1)}}+\underset{\vdots\ 16}{\underbrace{8(9^k -1)}}$

Итак, оба слагаемых делятся на 16. Значит и вся сумма делится на 16. Доказано.