Question

Докажите методом математической индукции справедливость следующих утверждений, в которых n € N

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Нехай   Sₙ = 1/2 + 3/2² + 5/2³ + ... + ( 2n - 1 )/2ⁿ = 3 - ( 2n + 3 )/2ⁿ .  (  1  )

1) При  n = 1 :     S₁ = 1/2 ;      3 - ( 2*1 +3 )/2¹ = 3 - 5/2 = 1/2 ; прав . рівність

2) При n = k :  S(k) = 1/2 + 3/2² + 5/2³ + ... + ( 2k - 1 )/2^k = 3 - ( 2k + 3 )/2^k -

правильна рівність (  за припущенням ). Перевіряємо для  n = k + 1 :

n = k + 1 :   S(k +1) = S(k) + (2k +1)/2^(k+1) = 3 - ( 2k + 3 )/2^k + (2k +1)/2^(k+1) =

= 3+ ( 2k +1 - 4k - 6 )/2^(k+1) = 3 - ( 2k + 5 )/2^(k+1) = 3 - [ 2(k + 1 ) + 3 ]/2^(k+1) .

формула (  1  ) виконується і для n = k + 1 . На основі Принципу матем. індукції  формула (  1  ) виконується для будь- яких  nЄ N .