Question

СРОЧНО ПОМОГИТЕ!!! ДАЮ 35 БАЛЛОВ!

Решить нужно методом Гаусса.
(Желательно все расписать)

Answer 1

Ответ:

$(-\frac{8}{17} x_3-\frac{24}{17} x_4; \frac{10}{17} x_3-\frac{4}{17} x_4; x_3; x_4)$, где $x_3$ и $x_4$ свободные переменные.

Пошаговое объяснение:

$\left\{\begin{array}{ccc}3x_1-x_2+2x_3+4x_4=0\\2x_1+5x_2-2x_3+4x_4=0\\4x_1-7x_2+6x_3+4x_4=0\end{array}\right$

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

$\left(\begin{array}{cccc}3&-1&2&4\\2&5&-2&4\\4&-7&6&4\end{array}\right|\left\begin{array}{c}0&0&0\end{array}\right)$

Вторую строку матрицы умножим на (-2) и прибавим ее к третьей строке.

$\left(\begin{array}{cccc}3&-1&2&4\\2&5&-2&4\\0&-17&10&-4\end{array}\right|\left\begin{array}{c}0&0&0\end{array}\right)$

Первую строку матрицы умножим на $(-\frac{2}{3} )$ и прибавим ее ко второй строке.

$\left(\begin{array}{cccc}3&-1&2&4\\0&\frac{17}{3} &-\frac{10}{3} &\frac{4}{3} \\0&-17&10&-4\end{array}\right|\left\begin{array}{c}0&0&0\end{array}\right)$

Вторую строку матрицы умножим на 3 и прибавим ее к третьей строке.

$\left(\begin{array}{cccc}3&-1&2&4\\0&\frac{17}{3} &-\frac{10}{3} &\frac{4}{3} \\0&0&0&0\end{array}\right|\left\begin{array}{c}0&0&0\end{array}\right)$

Строку, состоящую из одних нулей откидываем. Матрица приобретает вид:

$\left(\begin{array}{cccc}3&-1&2&4\\0&\frac{17}{3} &-\frac{10}{3} &\frac{4}{3} \end{array}\right|\left\begin{array}{c}0&0\end{array}\right)$

Во второй строке больше невозможно дополнительно ни один элемент сделать нулевым.

Система уравнений теперь имеет вид:

$\left\{\begin{array}{ccc}3x_1-x_2+2x_3+4x_4=0\\0+\frac{17}{3} x_2-\frac{10}{3} x_3+\frac{4}{3} x_4=0\end{array}\right$

Значит система уравнений имеет бесконечно много решений.

$x_1$ и $x_2$ - базисные переменные (базисные переменные всегда находятся на ступенях матрицы).

$x_3$ и $x_4$ - свободные переменные. Через них выразим базисные переменные.

Из второго уравнения системы выражаем $x_2$.

$\frac{17}{3} x_2-\frac{10}{3} x_3+\frac{4}{3} x_4=0\\ \\ \frac{17}{3} x_2=\frac{10}{3} x_3-\frac{4}{3} x_4|*\frac{3}{17} \\ \\ x_2=\frac{10}{17} x_3-\frac{4}{17} x_4$

Подставляем $x_2$ в первое уравнение системы и выражаем $x_1$.

$3x_1-(\frac{10}{17} x_3-\frac{4}{17} x_4)+2x_3+4x_4=0\\ \\ 3x_1-\frac{10}{17} x_3+\frac{4}{17} x_4+2x_3+4x_4=0\\ \\ 3x_1=\frac{10}{17} x_3-\frac{4}{17} x_4-2x_3-4x_4\\ \\ 3x_1=-\frac{24}{17} x_3-\frac{72}{17} x_4|:3\\ \\ x_1=-\frac{8}{17} x_3-\frac{24}{17} x_4$

Ответ:

$(-\frac{8}{17} x_3-\frac{24}{17} x_4; \frac{10}{17} x_3-\frac{4}{17} x_4; x_3; x_4)$, где $x_3$ и $x_4$ свободные переменные.

Проверка общего решения. Для этого общее решение подставляем в каждое уравнение исходной системы и производим вычисления.

$3(-\frac{8}{17}x_3-\frac{24}{17}x_4)-(\frac{10}{17}x_3-\frac{4}{17}x_4)+2x_3+4x_4=\\ \\ =-\frac{24}{17}x_3-\frac{72}{17}x_4-\frac{10}{17}x_3+\frac{4}{17}x_4+2x_3+4x_4=0$

$2(-\frac{8}{17}x_3-\frac{24}{17}x_4)+5(\frac{10}{17}x_3-\frac{4}{17}x_4)-2x_3+4x_4=\\ \\ =-\frac{16}{17}x_3-\frac{48}{17}x_4+\frac{50}{17}x_3-\frac{20}{17}x_4-2x_3+4x_4=0$

$4(-\frac{8}{17}x_3-\frac{24}{17}x_4)-7(\frac{10}{17}x_3-\frac{4}{17}x_4)+6x_3+4x_4=\\ \\ =-\frac{32}{17}x_3-\frac{96}{17}x_4-\frac{70}{17}x_3+\frac{28}{17}x_4+6x_3+4x_4=0$