Question

Точки A, B, C, D в указанном порядке расположены на  окружности. Хорды AC и BD пересекаются в точке P, а лу-
чи AB и DC — в точке Q. Найдите ∠BAC, если ∠APD = 94◦,
а ∠AQD=56◦. Ответ дайте в градусах.

Answer 1

Ответ:

19°

Пошаговое объяснение:

Дано: Окр.О

АС ∩ BD = P

AB ∩ DC = Q

∠APD = 94°;   ∠AQD=56°

Найти: ∠BAC

Решение:

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности заключенных внутри него дуг.

⇒ $\displaystyle \angle{Q}=\frac{\smile{AD}-\smile{BC}}{2}$

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме заключенных между ними дуг.

⇒ $\displaystyle \angle{APD}=\frac{\smile {AD+\smile BC}}{2}$

Пусть дуга AD = x, а дуга ВС = у.

Составим систему и найдем дуги:

$\displaystyle \left \{ {{94=\frac{x+y}{2} } \atop {56=\frac{x-y}{2} }} \right. \\\\\left \{ {{188=x+y} \atop {112=x-y}} \right.$

Сложим уравнения:

$\displaystyle 300=2x\\x=150$

Найдем у, подставив значение х в любое уравнение:

$\displaystyle 188=150+y\\y=38$

⇒ дуга ВС = 38°

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

⇒∠ВАС = 38° : 2 = 19° (вписанный, опирается на дугу ВС)