Question

Разложите многочлен x^8+x+1 на два множителя с целвми коэффициентами

Answer 1

Ответ:

$x^8+x+1=(x^2+x+1)(x^6-x^5+x^3-x^2+1)$

Объяснение:

Представим выражение в виде разности двух геометрических прогрессий и используем формулы сокращенного умножения:$x^8+x+1=(x^8+x^7+...+1)-(x^7+x^6+...+x^2)=\dfrac{x^9-1}{x-1}-\dfrac{x^2(x^6-1)}{x-1}=\\ =\dfrac{(x^3-1)(x^6+x^3+1)}{x-1}-\dfrac{x^2(x^3-1)(x^3+1)}{x-1}=\dfrac{x^3-1}{x-1}\left((x^6+x^3+1)-x^2(x^3+1)\right)=\\ =(x^2+x+1)(x^6+x^3+1-x^5-x^2)=(x^2+x+1)(x^6-x^5+x^3-x^2+1)$