Question

y=2x³+3x; y=x³+x . Используя определение производной найдете производные следующих функций

Answer 1

Ответ:

$1) \ f'(x)=6x^2+3 \\ 2) \ f'(x)=3x^2+1$

Объяснение:

определение производной функции y=f(x)

$f'(x)= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

$1) \ f(x)=2x^3+3x \\ \\ f'(x)= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{[2(x+\Delta x)^3+3(x+\Delta x)]-(2x^3+3x)}{\Delta x} = \\ \\ =\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{[2(x^3+3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3)+3x+3\Delta x]-(2x^3+3x)}{\Delta x} = \\ \\ = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2x^3+6x^2\Delta x+6x(\Delta x)^2+2(\Delta x)^3+3x+3\Delta x-2x^3-3x}{\Delta x} = \\ \\ = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{6x^2\Delta x+6x(\Delta x)^2+2(\Delta x)^3+3\Delta x}{\Delta x} =$

$= \lim\limits_{\Delta x \to 0} (6x^2+6x \Delta x+2( \Delta x)^2+3)=6x^2+6x *0+2*0^2+3=6x^2+3$

$2) \ f(x)=x^3+x \\ \\ f'(x)= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{[(x+\Delta x)^3+(x+\Delta x)]-(x^3+x)}{\Delta x} = \\ \\ =\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{x^3+3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3+x+\Delta x-x^3-x}{\Delta x} = \\ \\ = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3+\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} (3x^2+3x \Delta x+( \Delta x)^2+1)=\\ \\ =3x^2+3x *0+0^2+1=3x^2+1$