Question

ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ПОЖАЛУЙСТА ПОЖАЛУЙСТА ПОЖАЛУЙСТА ПОЖАЛУЙСТА ПОЖАЛУЙСТА ПОЖАЛУЙСТА ПОЖАЛУЙСТА ПОЖАЛУЙСТА ПОЖАЛУЙСТА ПОЖАЛУЙСТА ПОЖАЛУЙСТА ПОЖАЛУЙСТА ПОЖАЛУЙСТА ​

Answer 1

_____ 1 задание

$\vec{AN} =$ {$x_N - x_A ; y_N - y_A$} = {$- 3- 2 ; 0- 6$} = {$- 5; - 6$};

$\vec{AN} = \vec{CM} =$ {$- 5; - 6$},

$\vec{CM} =$ {$x_M - x_C ; y_M - y_C$} = {$x_M - 5 ; y_M - 2$} = {$- 5; - 6$},

=> $x_M - 5 = - 5, x_M = - 5 + 5 = 0$,

$y_M - 2 = - 6, x_M = -6+2 = - 4$,

=> $M( 0; - 4)$

Ответ: $M( 0; - 4)$

_____ 2 задание

$cos(\vec{a}, \vec{n} ) = \frac{\vec{a} \times \vec{n} }{ |\vec{a} | \times |\vec{n}|}$ ;

$cos(\vec{a}, \vec{n} )$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{n}$;

$\vec{a} ( \sqrt{3} ; \sqrt{3} )$, $\vec{n} ( - 2; 2)$;

$\vec{a} \times \vec{n}$ — скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{n}$, находится так: $\vec{a} \times \vec{n} = x_a \times x_n + y_a \times y_n = \sqrt{3} \times (-2) + \sqrt{3} \times 2 = - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} = 0$;

числитель равен нулю, знаменатель (произведение длин векторов $\vec{a}$ и $\vec{n}$) можно не находить, так как дробь всё равно будет равна нулю:

$cos(\vec{a}, \vec{n} ) = 0$,

косинус прямого угла равен нулю, соответственно угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{n}$ равен 90°.

Ответ: 90°

_____ 3 задание

$\vec{a} = (4 ; 8)$, $\vec{b} = (2 ; 3)$

Если правильно распознаю формулу на картинке, то:

Координаты вектора:

$\vec{m} = \frac{1}{2} \vec{a} + 6 \vec{b} = ( \frac{1}{2} × 4 + 6 × 2 ; \frac{1}{2} × 8 + 6 × 3) = (2 + 12;4 + 18) = (14;22)$

Длина вектора $\vec{m}$ обозначается как $|\vec{m}|$ и находится как квадратный корень из суммы квадратов координат вектора $\vec{m}$, то есть,

$|\vec{m}| = \sqrt{ { x_m}^{2} + { y_m }^{2} } = \sqrt{ {14}^{2} + {22}^{2} } = \sqrt{196 + 484} = \sqrt{680} = \sqrt{4 \times 170} = 2 \sqrt{170}$

Ответ: $\vec{m} (14;22)$, $|\vec{m}|= 2 \sqrt{170}$

_____ 4 задание

$\vec{p} = ( - 3 ; 4)$,

$\vec{d} = (8 ; 6)$,

$\vec{q} = (8 ; a)$

а) векторы $\vec{d}$ и $\vec{q}$ коллинеарны, $a$ — ?

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. То есть, угол между такими векторами равен либо 0°, либо 180°.

То есть, либо $cos(\vec{d}, \vec{q} ) = 1$ (когда угол равен 0°), либо $cos(\vec{d}, \vec{q} ) = - 1$ (когда угол равен 180°).

Вспоминаем формулу угла между векторами:

$cos(\vec{d}, \vec{q} ) = \frac{\vec{d} \times \vec{q} }{ |\vec{d} | \times |\vec{q}|}$

Если угол между векторами равен 0°, то:

$1 = \frac{\vec{d} \times \vec{q} }{ |\vec{d} | \times |\vec{q}|} = \frac{8 \times 8 + 6 \times a}{ \sqrt{ {8}^{2} + {6}^{2} } \times \sqrt{ {8}^{2} + {a}^{2} } } = \frac{64 + 6a}{ \sqrt{64 + 36} \times \sqrt{64 + {a}^{2} } } = \frac{64 + 6a}{ \sqrt{100} \times \sqrt{64 + {a}^{2} } } = \frac{64 + 6a}{10 \sqrt{64 + {a}^{2} } } = \frac{32 + 3a}{5 \sqrt{64 + {a}^{2} } }$

$32 + 3a = 5 \sqrt{64 + {a}^{2} }$ // ^2

${(32 + 3a)}^{2} = {(5 \sqrt{64 + {a}^{2} } )}^{2}$

$1024 + 192a + 9 {a}^{2} = 25 \times (64 + {a}^{2} )$

$1024 + 192a + 9 {a}^{2} = 1600 + 25 {a}^{2}$

$16 {a}^{2} - 192a + 576 = 0$ // ÷16

${a}^{2} - 12a + 36 = 0$

${(a - 6)}^{2} = 0$

$a - 6 = 0$

$a = 6$

Если угол между векторами равен 180°, то:

$\frac{32+ 3a}{5 \sqrt{64 + {a}^{2} } } = - 1$

$- 32- 3a = 5 \sqrt{64 + {a}^{2} }$ // ^2

${( - 32 - 3a)}^{2} = {(5 \sqrt{64 + {a}^{2} } )}^{2}$

$1024 + 192a + 9 {a}^{2} = 25 \times( 64 + {a}^{2} )$

ну и дальше решение совпадает и $a = 6$

Ответ: $a = 6$

б) векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$ перпендикулярны, $a$ — ?

Если векторы перпендикулярны, то угол между векторами равен 90°, соответственно $cos(\vec{d}, \vec{q} ) = 0$.

Составляем уравнение:

$0 = \frac{\vec{p} \times \vec{q} }{ |\vec{p} | \times |\vec{q}|} = \frac{ - 3 \times 8 + 4 \times a}{ \sqrt{ {( - 3)}^{2} + {4}^{2} } \times \sqrt{ {6}^{2} + {a}^{2} } } = \frac{ - 24 + 4a}{ \sqrt{9 + 16} \times \sqrt{36 + {a}^{2} } } = \frac{4a - 24}{ \sqrt{25} \times \sqrt{36 + {a}^{2} } } = \frac{4a - 24}{5 \sqrt{36 + {a}^{2} } }$

ОДЗ:

$5 \sqrt{36 + {a}^{2} } ≠0$,

$\sqrt{36 + {a}^{2} } ≠0$,

$36 + {a}^{2} ≠0$,

${a}^{2} ≠ - 36$

— таких значений нет;

$4a - 24 = 0$

$4a = 24$

$a = 6$

Ответ: $a = 6$