Question

Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину С(1:2) , а так же уравнения высоты x-2x+1=0 и медианы 4x+y+2=0, проведённые из одной вершины

Answer 1

1)  Координаты  одной из трех вершин треугольника даны  $C(1;2)$.

2) Найдем координаты  еще одной вершины, из которой проведены высота и медиана, пусть это будет вершина $A$. Для этого решаем систему уравнений:

$\left \{ {{x-2y+1=0} \atop {4x+y+2=0}} \right. =>\left \{ {{x=2y-1} \atop {4x+y+2=0}} \right. =>\left \{ {{x=2y-1} \atop {4(2y-1)+y+2=0}} \right.$

$8y-4+y+2=0$

$9y=2$

$y=\frac{2}{9}$

$x=2*\frac{2}{9} -1=\frac{4}{9}-\frac{9}{9}=-\frac{5}{9}$

$A(-\frac{5}{9};\frac{2}{9})$

3)  Зная координаты вершин   $A(-\frac{5}{9};\frac{2}{9})$  и  $C(1;2)$, составим уравнение прямой АС по формуле:

$\frac{x-x_A}{x_C-x_A} =\frac{y-y_A}{y_C-y_A}$    

Подставляя координаты точек А и С, получаем:

$\frac{x-(-\frac{5}{9} )}{ 1 -(-\frac{5}{9} )} =\frac{y-\frac{2}{9} }{2- \frac{2}{9} }$  

$\frac{x+\frac{5}{9} }{ \frac{14}{9} } =\frac{y-\frac{2}{9} }{ \frac{16}{9} } =>\frac{9x+5}{14}=\frac{9y-2}{16} =>72x+40=63y-14$

$72x-63y+54=0$  

$8x-7y+6=0$    -  уравнение стороны $AC.$

4) С помощью данного уравнения высоты  $x-2y+1=0$ , проведённой из вершины $A$ к стороне $BC$, составим уравнение этой стороны $BC$.

$2x+y+p=0$  - это уравнение перпендикуляра к прямой $x-2y+1=0$.

Точка $C(1;2)$  лежит на этом перпендикуляре, поэтому подставим её  координаты и найдем $p$.

$2*1+2+p=0$

$p=-4$

$2x+y-4=0$  - уравнение стороны $BC$.

5) Найдем середину стороны $BC$, которая образована пересечением медианы   $4x+y+2=0$   и стороны $BC$.  Для этого решаем систему уравнений:

$\left \{ {{4x+y+2=0} \atop {2x+y-4=0}} \right.=>\left \{ {{x=-3} \atop {y=-2x+4}} \right.=>\left \{ {{x=-3} \atop {y=10}} \right.=>K(-3;10)$  - середина стороны $BC$,

6)  Найдем координаты точки $B$, зная координаты точки $C(1;2)$  и точки

$K(-3;10)$ по формулам:

$x_K=\frac{x_B+x_C}{2}=>-3=\frac{x_B-1}{2} =>x_B=-5$

$y_K=\frac{y_B+y_C}{2}=>10=\frac{y_B+2}{2}=>y_B=18$

$B(-5;18)$  

7)  Зная координаты вершин  $A(-\frac{5}{9};\frac{2}{9})$   и  $B(-5;18)$, составим уравнение прямой $AB$ по формуле:

$\frac{x-x_A}{x_B-x_A} =\frac{y-y_A}{y_B-y_A}$

$\frac{x-(-\frac{5}{9} )}{ -5 -(-\frac{5}{9} )} =\frac{y-\frac{2}{9} }{18- \frac{2}{9} }$

$\frac{9x+5}{ -45 +5} =\frac{9y-2}{162-2}=>\frac{9x+5}{ -40} =\frac{9y-2}{160}=>\frac{9x+5}{ -1} =\frac{9y-2}{4}=>$

$4(9x+5) =-1(9y-2)$

$36x+9y+18=0$

$4x+y+2=0$  - уравнение стороны $AB$.

Ответ:    $4x+y+2=0$  - уравнение стороны $AB$.

              $2x+y-4=0$  - уравнение стороны $BC$.

              $8x-7y+6=0$    -  уравнение стороны $AC.$