Question

помогите, пожалуйста, срочно!
вычислить интеграл

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int \frac{2x^3+7x^2+7x+9}{(x^2+x+1)(x^2+x+2)}\, dx=I\\\\\\ \frac{2x^3+7x^2+7x+9}{(x^2+x+1)(x^2+x+2)}=\frac{Ax+B}{x^2+x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+x+2}\\\\\\2x^3+7x^2+7x+9=(Ax+B)(x^2+x+2)+(Cx+D)(x^2+x+1)=\\\\=Ax^3+Ax^2+2Ax+Bx^2+Bx+2B+Cx^3+Cx^2+Cx+Dx^2+Dx+D\\\\\\x^3\ |\ A+C=2\ \ ,\qquad \qquad \qquad C=2-A\\x^2\ |\ A+B+C+D=7\ \ ,\qquad A+B+(2-A)+(9-2B)=7\\x^1\ |\ 2A+B+C+D=7\ \ ,\ \ \quad 2A+B+(2-A)+(9-2B)=7\\x^0\ |\ 2B+D=9\ \ ,\ \qquad \qquad \quad \ D=9-2B\\\\\\B=4\ ,\ \ D=1\ ,\ \ A=0\ ,\ \ C=2$

$\displaystyle I=\int \frac{2x^3+7x^2+7x+9}{(x^2+x+1)(x^2+x+2)}\, dx=\int \frac{4\, dx}{x^2+x+1}+\int \frac{(2x+1)\, dx}{x^2+x+2}=\\\\\\=4\int \frac{dx}{(x+0,5)^2-0,25}+\int \frac{d(x^2+x+2)}{x^2+x+2}=\\\\\\=4\cdot \frac{1}{2\cdot 0,5}\cdot ln\Big|\, \frac{x+0,5-0,5}{x+0,5+0,5}\, \Big|+ln\Big|\, x^2+x+2\, \Big|+C=\\\\\\=4\cdot ln\Big|\, \frac{x}{x+1}\, \Big|+ln\Big|\, x^2+x+2\, \Big|+C$