Question

Помогите, пожалуйста,уже всю голову сломала))) Диаметры оснований усеченного конуса равны 4 и 6. Найдите объем шара, вписанного в усеченный конус.

Answer 1

$V=frac{4}{3}piR^{3}$

 

Рассмотрим усеченный конус в продольном сечении. Это равнобедренная трапеция с основаниями AD=b=6 см и BC=a=4 см.

В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. т.е.:AB+DC= AD+BC или 2a= b+c

Бедро трапеции выражается через высоту по теореме Пифагора: 

 

 $BC= a= sqrt{h^{2}+(frac{c-b}{2})^{2}$

 

Зная, что 2a= b+c, получаем:

 

$b+c=2sqrt{h^{2}+(frac{c-b}{2})^{2}$

 

Упростив выражение получим:  

 

$h=sqrt{(frac{c+b}{2})^{2}-(frac{c-b}{2})^{2}$ 

 

$h=frac{1}{2}sqrt{({c+b})^{2}-({c-b})^{2}$

используем формулы Квадрат суммы и Квадрат разности и после раскрытия скобок и упрощения получим

 

$h=sqrt{bc}$ 

 

h=√(4*6)=√24=2√6

Радиус вписанной окружности равен половине высоты, т.к. центр окружности равноудален от точек кассания со сторонами/основаниями трапеции.

 

r=½h=½*2√6=√6

 

Радиус рассмотренной окружности и будет радиусом шара

 

$V=frac{4}{3}piR^{3}$  

 

$V=frac{4}{3}pi(sqrt{6})^{3}$

 

$V=frac{4}{3}pi6sqrt{6}=8pisqrt{6}$

 

Ответ:  $V=8pisqrt{6}$