Question

Для любителей мат. задач
Найдите все значения параметра а при которых уравнения x^2 +(a^2 - 5a+6)x=0, x^2 +2(a-3)x+(a^2 - 7a+12)=0 имеют одни и

Answer 1

Попытаю удачу в размышлениях. Вы, как Главный Мозг, видите мою ошибку? Кажется, она здесь есть.

${x}^{2} + ( {a}^{2} - 5a + 6)x = 0,$

$где \: a = 1,b = {a}^{2} - 5a + 6,c = 0$

${x}^{2} + 2(a - 3)x + ( {a}^{2} - 7a + 12) = 0,$

$где \: a = 1,b = 2(a - 3) = 2a - 6,c = {a}^{2} - 7a + 12$

В первом уравнении:

$x_1 = \frac{ - b + \sqrt{{b}^{2} - 4ac} }{2a} = \frac{ - ( {a}^{2} - 5a + 6) + \sqrt{ {( {a}^{2} - 5a + 6) ^{2} } - 4 \times 1 \times 0 } }{2 \times 1} = \frac{ - ( {a}^{2} - 5a + 6) + \sqrt{ {( {a}^{2} - 5a + 6 )}^{2} } }{2} = \frac{ - ( {a}^{2} - 5a + 6) + ( {a}^{2} - 5a + 6)}{2} = 0$

$x_2 = \frac{ - b - \sqrt{{b}^{2} - 4ac} }{2a} = \frac{ - ( {a}^{2} - 5a + 6) - \sqrt{ {( {a}^{2} - 5a + 6) ^{2} } - 4 \times 1 \times 0 } }{2 \times 1} = \frac{ - ( {a}^{2} - 5a + 6) - \sqrt{ {( {a}^{2} - 5a + 6 )}^{2} } }{2} = \frac{ - ( {a}^{2} - 5a + 6) - ( {a}^{2} - 5a + 6)}{2} = \frac{ - 2( {a}^{2} - 5a + 6) }{2} = - {a}^{2} + 5a - 6$

Во втором уравнении:

$x_3 = \frac{ - b + \sqrt{{b}^{2} - 4ac} }{2a} = \frac{ - (2a - 6) + \sqrt{ {(2a - 6)}^{2} - 4 \times 1 \times ( {a}^{2} - 7a + 12)} }{2 \times 1} = \frac{ - (2a - 6) + \sqrt{ 4 {a}^{2} - 24 a + 36 - 4 {a}^{2} + 28a - 48 } }{2} = \frac{ - (2a - 6) + \sqrt{4a - 12} }{2} = \frac{ - 2(a - 3) + 2 \sqrt{a - 3} }{2} = - (a - 3) + \sqrt{a - 3}$

$x_4 = \frac{ - b - \sqrt{{b}^{2} - 4ac} }{2a} = \frac{ - (2a - 6) - \sqrt{ {(2a - 6)}^{2} - 4 \times 1 \times ( {a}^{2} - 7a + 12)} }{2 \times 1} = \frac{ - (2a - 6) - \sqrt{ 4 {a}^{2} - 24 a + 36 - 4 {a}^{2} + 28a - 48 } }{2} = \frac{ - (2a - 6) - \sqrt{4a - 12} }{2} = \frac{ - 2(a - 3) - 2 \sqrt{a - 3} }{2} = - (a - 3) - \sqrt{a - 3}$

Составляем систему уравнений, поскольку одно из значений x = 0, то остальные выражения нужно приравнять к нулю.

$- {a}^{2} + 5a - 6 = 0$

$D = 1, a_1 = 2, a_2 = 3$

$- (a - 3) + \sqrt{(a - 3)} = 0$

$\sqrt{(a - 3)} = a - 3$

$a - 3 = {(a - 3)}^{2}$

$a - 3 = {a}^{2} - 6a + 9$

${a}^{2} - 7a + 12 = 0$

$D = 1, a_3 = 4, a_4 = 3$

$- (a - 3) - \sqrt{(a - 3)} = 0$

$a_5 = 3$

Получились такие значения a, как 2, 3 и 4.

Подставляем в исходные уравнения.

${x}^{2} + ( {a}^{2} - 5a + 6)x = 0$

a = 2,

${x}^{2} = 0, \: x = 0$

a = 3,

${x}^{2} = 0, \: x = 0$

a = 4,

${x}^{2} + 2x = 0, \: x = 0, \: x = - 2$

${x}^{2} + 2(a - 3)x + ( {a}^{2} - 7a + 12) = 0$

a = 2, корней нет.

a = 3, корней нет.

a = 4,

${x}^{2} + 2x = 0, \: x = 0, \: x = - 2$

Получается, значение параметра a равно 4.