Question

Очень срочнооо помогите дам 5 звёзд
Диофантово уравнение, c решением
121x - 49y = 1

Answer 1

121х - 49y = 1

Постепенно будем раскладывать числа на такие слагаемые, что бы можно было вынести общий множитель за скобки, а затем, используя теорию делимости, будем вводить новые переменные.

23x + 98x - 49y = 1

23x - 1 = 49y - 98x

23х - 1 = 49(у - 2х)

(1) Замена: y - 2x = k

23x - 1 = 49k

23x - 1 = 46k + 3k

3k + 1 = 23x - 46k

3k + 1 = 23(x - 2k)

(2) Замена: х - 2k = m

3k + 1 = 23m

3k + 1 = 24m - m

m + 1 = 24m - 3k

m + 1 = 3(8m - k)

(3) Замена: 8m - k = n

m + 1 = 3n

Теперь задача - выразить "х" и "у" через "n" через обратные замены.

m = 3n - 1

(3) Обратная замена: 8m - k = n

8(3n - 1) - k = n

24n - 8 - k = n

k = 23n - 8

(2) Обратная замена: x - 2k = m

x - 2(23n - 8) = 3n - 1

x - 46n + 16 = 3n - 1

x = 49n - 17

(1) Обратная замена: y - 2x = k

y - 2(49n - 17) = 23n - 8

y - 98n + 34 = 23n - 8

y = 121n - 42

Ответ:

x = 49n - 17, y = 121n - 42, где n - произвольное целое число.

При желании, можем сами себя проверить, подставляя вместо n какие-то целые числа и проверяя полученные корни в исходном уравнении.

Например, если n = 1, то x = 32, y = 79.

Подставим в исходное уравнение:

121x - 49y = 1

121•32 - 49•79 = 1

3872 - 3871 = 1

1 = 1, получили тождество, значит, найденные числа будут корнями исходногл уравнения.

(P.S. Можно вообще подставить в исходное уравнение x = 49n - 17, y = 121n - 42. В итоге также получим тождество)