Question

Дано тригонометрическое выражение:   sin72°⋅cos12°−sin18°⋅cos78°. ​

Answer 1

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Объяснение:

$sin72cos12-sin18cos78$

Воспользуемся формулой произведения синуса на косинус:

$\frac{1}{2}(sin(72-12)+sin(72+12))-\frac{1}{2}(sin(18-78)+sin(78+18))$

$\frac{1}{2}(sin60+sin84)-\frac{1}{2}(sin(-60)+sin96)$

$\frac{1}{2}((sin60+sin84)-(sin(-60)+sin96))$

Вынесем минус из синуса по правилам нечётности синуса

$\frac{1}{2}((sin60+sin84)-(-sin60+sin96))$

Откроем скобки

$\frac{1}{2}((sin60+sin84+sin60-sin96))$

Заметим, что $sin60$ равняется $\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}+sin84+\frac{\sqrt{3}}{2}-sin96)$

$\frac{1}{2}(\sqrt{3}+sin84-sin96)$

Вынесем $\sqrt{3}$ из скобок, умножив его на $\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}(sin84-sin96)$

По формуле разности синусов мы приведём это выражение к этому:

$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}(2(sin\frac{84-96}{2}*cos\frac{84+96}{2}))$

$\frac{1}{2}$ и $2$ при умножении уничтожаются

$\frac{\sqrt{3}}{2}+(sin\frac{84-96}{2}*cos\frac{84+96}{2})$

$\frac{\sqrt{3}}{2}+(sin(-6)*cos90)$

Так как $cos90$ равен 0, при умножении $sin(-6)$ на 0 будет 0

$\frac{\sqrt{3}}{2}+(sin(-6)*0)$

$\frac{\sqrt{3}}{2}+0$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$