Question

найти указанные пределы

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

a) поделим числитель и знаменатель на переменную в наивысшей степени знаменателя

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{4x^4+6x^3 -3x^2+3}{7x^4+2x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4(4+6/x-3/x^2+3/x^4)}{x^4(7+2/x^2)} =\frac{4}{7}$

б) чтобы избавиться от 0 в знаменателе домножим знаменатель и числитель на выражение сопряженное к числителю

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{ 1+8x^2}-3)(\sqrt{ 1+8x^2}+3)}{x(x-1)(\sqrt{ 1+8x^2}+3)} = \lim_{x \to 1} \frac{1+8x^2-9}{x(x-1)(\sqrt{ 1+8x^2}+3)} =\\\\ \lim_{x \to 1}\frac{x^2-8}{x(x-1)(\sqrt{ 1+8x^2}+3)} = \lim_{x \to 1} \frac{8(x+1)(x-1)}{x(x-1)(\sqrt{ 1+8x^2}+3)} =\frac{8(1+1)}{1*6} =\frac{8}{3}$

в) здесь используем свойства второго замечательного предела

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \bigg (1+\frac{a}{x} \bigg )^\displaystyle{bx}}=e^\displaystyle{ab}}$

у нас  а = 1

b = 4/7

тогда

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \bigg {(}1+\frac{1}{7x} \bigg {)}^{\displaystyle 4x}= \lim_{x \to \infty} \bigg {(}1+\frac{1}{7x} \bigg {)}^{\displaystyle \frac{4}{7} *7x}}}=e^{4/7}$