Question

Упростить выражение
$\sqrt{8\sqrt{24\sqrt{8\sqrt{24...}}}} .$

Answer 1

Ответ:

$8\sqrt[3]{3}$

Объяснение:

1 способ.

$\sqrt{8\sqrt{24\sqrt{8\sqrt{24...} } }} =x, x>0\\x^{2}=8\sqrt{24\sqrt{8\sqrt{24...} } } \\x^{4}=64*(24\sqrt{8\sqrt{24...} } )\\x^{4}=3*2^{9} \sqrt{8\sqrt{24...} } =3*2^{9}x$

$x^{4}=3*2^{9}x\\x^{4}-3*2^{9}x=0\\x(x^{3}-3*2^{9})=0\\x\neq 0\\x^{3}-3*2^{9}=0\\x^{3}=3*2^{9}\\ x=2^{3}\sqrt[3]{3}=8\sqrt[3]{3}$

2 способ.

$x=\sqrt{8\sqrt{24\sqrt{8\sqrt{24...} } } }$

$x=8^{\frac{1}{2} }*24^{\frac{1}{4} }*8^{\frac{1}{8} }*24^{\frac{1}{16} } ...$

$x=8^{\frac{1}{2} }*(3*8)^{\frac{1}{4} }*8^{\frac{1}{8} }*(3*8)^{\frac{1}{16} } ...$

$x=(8^{\frac{1}{2} }*8^{\frac{1}{4} }*8^{\frac{1}{8} }*8^{\frac{1}{16} } ...)*(3^{\frac{1}{4} }*3^{\frac{1}{16} }*3^{\frac{1}{64} }*8^{\frac{1}{256} } ...)$

$x=8^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}...}*3^{\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256} ...}$

Степень 8-ки это сумма бесконечной геометрической  прогрессии при q=1/2<1.

Степень 3-ки это сумма бесконечной геометрической  прогрессии при q=1/4<1.

Вычисляются по формуле

$S=\frac{b_{1}}{1-q}$

$S_{1}= \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}...\\S_{1}=\frac{\frac{1}{2} }{1-\frac{1}{2} }=1 \\S_{2}= \frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256} ...\\S_{2}=\frac{\frac{1}{4} }{1-\frac{1}{4} }=\frac{1}{3}$

Получим

$x=8^{1} * 3^{\frac{1}{3} } =8\sqrt[3]{3}$