Question

решите пожалуйста, используя переменную t(обязательно)

Answer 1

$x^4-7x^3+14x^2-7x+1=0(:x^2);\\x^2-7x+14-\frac{7}{x}+\frac{1}{x^2} =0;\\(x^{2} +\frac{1}{x^2})-7(x+\frac{1}{x})+14=0;$

Пусть $t=x+\frac{1}{x}$, тогда $t^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}; x^{2}+\frac{1}{x^2}=t^2-2$

$t^2-2-7t+14=0;\\t^2-7t+12=0;\\t_{1}=4;t_{2}=3$Отсюда

$x+\frac{1}{x}=4; x^2-4x+1=0\\\\x_{1,2} =2\pm\sqrt{3}$

$x+\frac{1}{x}=3; x^2-3x+1=0;\\x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{5} }{2}$

$\boxed{x_{1}=2+\sqrt{3};x_{2}=2-\sqrt{3};x_{3}=\frac{3+\sqrt{5} }{2};x_{4}=\frac{3-\sqrt{5} }{2} }$