Question

Угол между осью ординат и касательной к графике функции
$y = x{e}^{x}$
в точке пересечения графика функции с осью Ох равен: ​

Answer 1

Точка пересечения функции с осью ОХ равна значению аргумента, если у=0.

хеˣ=0

Уравнение равно 0, если один из множителей равен 0. Поэтому:

$\left[ {{x=0,} \atop {e^x=0.}} \right.$

Поскольку второе уравнение не имеет корней (е≠0), точка пересечения функции у=хеˣ с осью ОХ имеет координаты (0; 0).

Далее необходимо найти уравнение касательной к графику в точке (0; 0). Уравнение касательной имеет вид: y=y'(x₀)(x-x₀)+y(x₀). Для этого нужно найти производную функции у=хеˣ.

у'=(хеˣ)'

u=x; v=eˣ; y'=u'v+uv'

y'=x'*eˣ+x*(eˣ)'=1*eˣ+x*eˣ=eˣ+xeˣ.

Ещё для уравнения касательной нужно найти y'(x₀) и y(x₀).

$y'(x_0)=e^{x_0}+x_0e^{x_0}$

y'(0)=e⁰+0*e⁰=e⁰=1

$y(x_0)=x_0e^{x_0}$

y(0)=0*е⁰=0

Подставим это в уравнение касательной y=y'(x₀)(x-x₀)+y(x₀): у=1(х-0)+0; y=x-0; y=x.

Мы получили функцию вида y=kx+b, где k=1, а b=0. Коэффициэнт k называется угловым коэффициентом прямой, он же равен tgα, где α - угол между прямой и осью Ох. tgα=1, тогда α=45°. Но поскольку нам нужен угол между касательной y=x и осью ординат (ОУ), а координатный угол равен 90°, искомый угол равен 90°-45°=45°.

Ответ: 45°.