Question

Дан квадратный трехчлен f(x) = x^2 – 2017x + 1. Найдите сумму действительных корней
уравнения f(f(x))=0
Подскажите, как это решается

Answer 1

Ответ:

$4034$

Объяснение:

1) Рассмотрим квадратное уравнение $f(x)=0$.

$D=(-2017)^2-4\cdot 1>0$, а значит оно имеет 2 действительных корня. Пусть это числа $\alpha_1,\alpha_2; \alpha_1\neq\alpha_2$.

Тогда, согласно теореме Виета, $\alpha_1+\alpha_2=2017;\;\alpha_1\cdot \alpha_2=1$ . При этом, так как и сумма, и произведение корней положительны, то и сами корни положительны.

2) Рассмотрим уравнение $f(f(x))=0$. Оно квадратное относительно $f(x)$.

Тогда, согласно пункту 1), оно равносильно совокупности уравнений $f(x)=\alpha_i, i=\overline{1,2}$.

3) Рассмотрим квадратное уравнение $f(x)=\alpha_i$:

$x^2-2017x + 1-\alpha_i=0$

$D=(-2017)^2-4(1-\alpha_i)=2017^2-4+4\alpha_i>4\alpha_i>0$ , так как, согласно пункту 1), $\alpha_i$ положительны. Значит, каждое из уравнений совокупности имеет 2 действительных корня.

4) Пусть уравнения совокупности имеют общий корень. Но тогда он будет и корнем их разности.

С другой стороны, разность имеет вид $-\alpha_1-(-\alpha_2)=0\Leftrightarrow \alpha_1=\alpha_2$ - противоречие с пунктом 1).

А значит уравнения совокупности общих корней не имеют.

5) С учетом пункта 3), по теореме Виета, сумма корней каждого из двух уравнений совокупности равна 2017.

Значит, сумма действительных корней рассматриваемого уравнения равна $2017+2017=4034$