Question

Пусть a и b - положительные числа. Найти
$\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}$ и $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}.$

Answer 1

Ответ:

$1) \ \lim\limits_{x \to -\infty} \left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x} =a \\ \\ 2) \ \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x} =b$

Объяснение:

b>a>0

$1) \ \lim\limits_{x \to -\infty} \left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x} =\left( \frac{a^{ -\infty}+b^{ -\infty}}{2} \right)^\frac{1}{ -\infty} =[0^0]$

Пусть $y=\left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x}$, тогда

$\ln y=\ln \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^\frac{1}{x} =\frac{1}{x} \ln \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right) =\frac{\ln \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)}{x} \\ \\ \lim\limits_{x \to -\infty} \ln y=\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{( \ln \left(\frac{a^x+b^x}{2} \right))'}{x'} = \left[\frac{\infty}{\infty} \right] =\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{\frac{2}{a^x+b^x}*\frac{a^x \ln a +b^x \ln b}{2} }{1} =$

$=\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{a^x \ln a +b^x \ln b}{a^x+b^x} = \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{(a^x \ln a +b^x \ln b):a^x}{(a^x+b^x):a^x} =\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{ \ln a +\left(\frac{b}{a} \right)^x \ln b}{1+\left(\frac{b}{a} \right)^x} =$

$=\frac{ \ln a +\left(\frac{b}{a} \right)^{-\infty} \ln b}{1+\left(\frac{b}{a} \right)^{-\infty}} =\frac{ \ln a +\left(\frac{a}{b} \right)^{+\infty} \ln b}{1+\left(\frac{a}{b} \right)^{+\infty}} = \begin{vmatrix} a<b\\ \frac{a}{b} <1 \\ \left(\frac{a}{b} \right)^{+\infty} =0 \end{vmatrix} =\ln a$

Значит

$\lim\limits_{x \to -\infty} \ln y=\ln a \\ \\ \ln \left(\lim\limits_{x \to -\infty} y\right)=\ln a \\ \\ \lim\limits_{x \to -\infty} y=a \\ \\ \lim\limits_{x \to -\infty} \left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x} =a$

Аналогично со вторым номером

$1) \ \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x} =\left( \frac{a^{ +\infty}+b^{ +\infty}}{2} \right)^\frac{1}{ +\infty} =[\infty^0]$

Пусть $y=\left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x}$, тогда

$\ln y=\ln \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^\frac{1}{x} =\frac{1}{x} \ln \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right) =\frac{\ln \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)}{x} \\ \\ \lim\limits_{x \to +\infty} \ln y=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{( \ln \left(\frac{a^x+b^x}{2} \right))'}{x'} = \left[\frac{\infty}{\infty} \right] =\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{a^x+b^x}*\frac{a^x \ln a +b^x \ln b}{2} }{1} =$

$=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{a^x \ln a +b^x \ln b}{a^x+b^x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{(a^x \ln a +b^x \ln b):b^x}{(a^x+b^x):b^x} =\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{ \left(\frac{a}{b} \right)^x\ln a + \ln b}{\left(\frac{a}{b} \right)^x+1} =$

$=\frac{\left(\frac{a}{b} \right)^{+\infty} \ln a +\ln b}{\left(\frac{a}{b} \right)^{+\infty}+1} =\begin{vmatrix} a<b\\ \frac{a}{b} <1 \\ \left(\frac{a}{b} \right)^{+\infty} =0 \end{vmatrix} =\ln b$

Значит

$\lim\limits_{x \to +\infty} \ln y=\ln b \\ \\ \ln \left(\lim\limits_{x \to +\infty} y\right)=\ln b \\ \\ \lim\limits_{x \to +\infty} y=b \\ \\ \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x} =b$