Question

Решите уравнение
$\sqrt[3]{9x+21}+\sqrt[3]{x+11}=\sqrt[3]{8x+19}+\sqrt[3]{2x+13}.$

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\sqrt[3]{9x+21}+\sqrt[3]{x+11}=\sqrt[3]{8x+19}+\sqrt[3]{2x+13}$

Введем переменные:

$k=\sqrt[3]{9x+21},\;=>\;k^3=9x+21\\l=\sqrt[3]{x+11},\;=>\;l^3=x+11\\m=\sqrt[3]{8x+19},\;=>\;m^3=8x+19\\n=\sqrt[3]{2x+13},\;=>n^3=2x+13$

Перейдем теперь к системе уравнений:

$\left\{\begin{array}{c}k+l=m+n\\m^3+n^3=k^3+l^3\end{array}\right;$

Поработаем со второй строкой системы:

$m^3+n^3=k^3+l^3\\(m+n)(m^2-mn+n^2)=(k+l)(k^2-kl+l^2)$

Из первой строки системы $k+l=m+n$:

$\left[\begin{array}{c}m+n=0\\m^2-mn+n^2=k^2-kl+l^2\end{array}\right;$

Первую строку совокупности пока отложим.

Преобразуем вторую:

$m^2-mn+n^2=k^2-kl+l^2\\(m+n)^2-3mn=(k+l)^2-3kl$

Опираясь на первую строку выше записанной системы:

$mn=kl$

Получили совокупность:

$\left[\begin{array}{c}m+n=0\\mn=kl\end{array}\right;$

Тогда исходному уравнению равносильно:

$\left[\begin{array}{c}8x+19=-2x-13\\(8x+19)(2x+13)=(9x+21)(x+11)\end{array}\right;$

Решая это, получаем ответ:

$\left[\begin{array}{c}x=-\dfrac{16}{5}\\\\x=-2\\\\x=-\dfrac{8}{7}\end{array}\right;$

Уравнение решено!