Question

Вычислить предел. Математика

Answer 1

$\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{(2n-1)!!}{n!}}=\lim\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{(2n)!!\cdot n! }}}=\lim\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!\cdot n!}}=\lim\sqrt[n]{\frac{\sqrt{2\pi\cdot 2n}(2n/e)^{2n}}{2^n\cdot \left(\sqrt{2\pi n}(n/e)^n\right)^2}}=$

$=\lim\frac{(2n/e)^2}{2(n/e)^2}=2.$

Здесь $(2n-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2n-1) -$ так называемый двойной факториал; внизу также двойной факториал

$(2n)!!=2\cdot 4\cdot\ldots \cdot (2n);$ также мы воспользовались формулой Стирлинга

$n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n,$ а также тем, что $\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1.$

Ответ: 2