Предмет: Алгебра, автор: Аноним

''''''''''''''''''''

Приложения:

azargun: я незнаю
azargun: ребят помогите ему страдает уже 6 часов

Ответы

Автор ответа: igorShap
0

Ответ:

f(a)=a^4+2a^3+a^2+\dfrac{1}{30}

Объяснение:

Будем считать, что подынтегральная функция f(x) интегрируема по Риману на отрезке [a-1;a].

Тогда, воспользовавшись дифференцированием по параметру a, получим:

f(a)-f(a-1)=4a^3 - линейное неоднородное рекуррентное соотношение.

Характеристическое уравнение \lambda-1=0\Rightarrow \lambda=1\Rightarrow f^{OO}(a)=C_1\cdot 1^a=C_1.

Частное решение ищем в виде f^{r_H}(a)=Aa^4+Ba^3+Ca^2+Da.

Подставляя в рекуррентное соотношение и рассматривая точки a=0,a=1,a=\dfrac{1}{2},a=2, получим систему для коэффициентов:

\left\{\begin{array}{c}-A+B-C+D=0\\ A+B+C+D=4\\ \dfrac{1}{4}B+D=\dfrac{1}{2}\\ 15A+7B+3C+D=32\end{array}\right.

Из первых двух уравнений, сложив их, получим B+D=2. Тогда, с учетом третьего, \dfrac{3}{4}B=\dfrac{3}{2}\Rightarrow B=2\Rightarrow D=0. Значит, A+C=2 и 15A+3C=18, откуда 12A=12\Rightarrow A=1\Rightarrow C=1.

Итак, решением системы является A=1,B=2,C=1,D=0.

Значит, f(a)=f^{OO}(a)+f^{r_H}(a)=C_1+a^4+2a^3+a^2.

Подставив полученную функцию в условие, найдем значение константы C_1:  a^4=\int\limits_{a-1}^a \left(C_1+x^4+2x^3+x^2\right)dx=\left . \left(C_1x+\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{x^4}{2}+\dfrac{x^3}{3}\right)\right|\limits_{a-1}^a=C_1+\dfrac{a^5-(a-1)^5}{5}+\dfrac{a^4-(a-1)^4}{2}+\dfrac{a^3-(a-1)^3}{3}C_1=\dfrac{a^5-(a-1)^5}{5}-\dfrac{a^4+(a-1)^4}{2}+\dfrac{a^3-(a-1)^3}{3}=\dfrac{1}{30}

Полученная функция удовлетворяет условию.


igorShap: Только кроме интегрируемости ещё непрерывность добавить нужно.
Похожие вопросы