Question

sin²a + sin(60°+a)×sin(60°-a)
​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac34$

Пошаговое объяснение:

Вспомним формулу синуса суммы/разности аргументов:

$\sin(\alpha+\beta)=\cos(\beta) \sin(\alpha) + \cos(\alpha) \sin(\beta)\\\sin(\alpha-\beta)=\cos(\beta) \sin(\alpha) - \cos(\alpha) \sin(\beta)$

Применим эти формулы для наших углов

$\sin(\alpha+60^{\circ})=\cos(60^{\circ}) \sin(\alpha) + \cos(\alpha) \sin(60^{\circ})=\dfrac12\sin\alpha+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\\\sin(\alpha-60^{\circ})=\cos(60^{\circ}) \sin(\alpha) - \cos(\alpha) \sin(60^{\circ})=\dfrac12\sin\alpha-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$

Вспомним формулу разности квадратов

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

Вспомним формулу

$\sin(-a)=-\sin(a)$

Вычислим

$\sin^2\alpha+\sin(\alpha+60^{\circ})\cdot\sin(\alpha-60^{\circ})=\\\\=\sin^2\alpha-\sin(\alpha+60^{\circ})\cdot\sin(60^{\circ}-\alpha)=\\=\sin^2\alpha-\Big(\dfrac12\sin\alpha+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\Big)\cdot\Big(\dfrac12\sin\alpha-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\Big)=\\\\=\sin^2\alpha-\Big(\dfrac12\sin\alpha\Big)^2+\Big(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\Big)^2=\sin^2\alpha-\dfrac14\sin^2\alpha+\dfrac34\cos^2\alpha=$

$=\dfrac34\sin^2\alpha+\dfrac34\cos^2\alpha=\dfrac34\cdot(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=\dfrac34$

Answer 2

Ответ: 0,75

Пошаговое объяснение:

Применим формулу произведения синусов в сумму:

$sin(x)sin(y) = \frac{1}{2} ( cos(x-y) - cos(x+y) )$

Откуда:

$sin(60 + a)sin(60-a) = \frac{1}{2} ( cos(2a) - cos(120) ) = \frac{cos(2a) +\frac{1}{2} }{2}$

По формуле понижения степени:

$sin^2(a) = \frac{1-cos(2a)}{2}$

Откуда:

$sin^2(a) + sin(60+a)sin(60-a) = \frac{1- cos(2a) + cos(2a) + \frac{1}{2} }{2} = \frac{3}{4} = 0.75$