Question

Найти все значения параметра a, при которых ровно один корень уравнения удовлетворяет x^2 + 2(a-1)x + 3a + 1 = 0 неравенству x < -1.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

В этой задаче есть два хороших способа к решению. Полностью аналитический и схематично-графический. Я люблю решать графически, но аналитический метод тоже покажу.

Способ 1: схематично-графический

Введем функцию $f(x)=x^2 + 2(a-1)x + 3a + 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Изобразим возможные расположения графика, которые удовлетворяют условию задачи (я рисовать не буду; если у вас появятся вопросы, пишите; будет время отвечу)

Опишем эти случаи:

$f(-1)<0$                 /или/                 $\left\{\begin{array}{c}D=0\\x_0<-1\end{array}\rightl;$

Замечу, что в первом случае писать условие $D>0$ нет необходимости, так как, если какой-то элемент параболы ниже оси OX, то корня заведомо будет два.

Выполним необходимые вычисления:

$f(-1)=a+4$

$D=4a^2-20a$

$x_0=1-a$, где $x_0$ - это координата вершины параболы $f(x)$.

Перепишем случаи, опираясь на записанные выше данные:

$a+4<0$                 /или/                 $\left\{\begin{array}{c}4a^2-20a=0\\1-a<-1\end{array}\rightl;$

Решая полученное, приходим к ответу:

$a\in(-\infty;\;4)\cup\{5\}$

Способ 2: аналитический

Уравнение $x^2 + 2(a-1)x + 3a + 1 = 0$ является квадратным, а значит его можно решить относительно $x$ через дискриминант, причем сразу поделим его на 4, чтобы упростить счет (можно не делить, но цифры вначале будут менее приятные):

$\dfrac{D}{4}=a^2-5a$

При $\dfrac{D}{4}>0$ (то есть, когда $a\in(-\infty;\;0)\cup(5;\;+\infty)$):

Выразим корни уравнения:

$\left[\begin{array}{c}x_1=1-a+\sqrt{a^2-5a}\\x_2=1-a-\sqrt{a^2-5a}\end{array}\right;$

Хорошо видно, что $x_1>x_2$. Тогда, если $x_1<-1$, то $x_2$ тоже меньше минус единицы, что нас не устраивает. Поэтому здесь возможет единственный случай:

$\left\{\begin{array}{c}1-a+\sqrt{a^2-5a}\ge-1\\1-a-\sqrt{a^2-5a}<-1\end{array}\right,\;<=>\;\left\{\begin{array}{c}a\in(-\infty;\;0]\\a\in(-\infty;\;-4)\cup[5;\;+\infty)\end{array}\right$

Учитывая все выше сказанное приходим к тому, что $a\in(-\infty;\;-4)$.

При $\dfrac{D}{4}=0$ (то есть, когда $a=0$ или $a=5$):

В этом случае корни совпадают, то есть $x=1-a$. Наша задача состоит в том, чтобы подчинить его условию $x<-1$, что возможно, если $a>2$. Данный случай достижим либо при $a=0$, либо при $a=5$. Так как $a>2$, то подходит только $a=5$.

Объединим найденное:

$a\in(-\infty;\;4)\cup\{5\}$

Задание выполнено!