Question

Помогите решить диф. уравнение, если задано начальные условия, найти отдельное решение, пример: y"+4y=$x^{2}$

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r2 +0 r + 4 = 0

D=0^2 - 4·1·4=-16  

Корни характеристического уравнения: (комплексные корни):

r1 = 2i

r2 = - 2i

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y- = C1 *cos 2x +C2 * sim2x.

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:

R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы

имеет частное решение

y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Здесь P(x) = x^2, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

y· = Ax^2 + Bx + C

Вычисляем производные:

y' = 2·A·x+B

y'' = 2·A

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' + 4y = (2·A) + 4(Ax^2 + Bx + C) = x^2

или

4·A·x^2+2·A+4·B·x+4·C = x^2

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

x^2: 4A = 1

1: 2A + 4C = 0

x: 4B = 0

Решая ее, находим:

A = 1/4;B = 0;C = -1/8;

Частное решение имеет вид:

y·=1/4x^2 + 0x -1/8  

Общее решение однородного уравнения имеет вид

y = y- +y. = C1 *cos 2x +C2 * sim2x +1/4x^2 -1/8