Предмет: Математика, автор: milakamilat1m

Помогите решить диф. уравнение, если задано начальные условия, найти отдельное решение, пример: y"-2y'+y=8e^{3x} , y(0)=5, y'(0)=8

Ответы

Автор ответа: Vasily1975
1

Ответ: y=3*e^x-x*e^x+2*e^(3*x).

Пошаговое объяснение:

Перед нами - линейное неоднородное ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами и с правой частью "специального" вида f(x)=e^(m*x)*[P1(x)*cos(n*x)+P2(x)*sin(n*x)], где m=3, n=0, P1(x)=8, P2(x)=0. Его решение y(x)=y1+y2, где y1 - общее решение однородного ДУ y"-2*y'+y=0, а y2 - частное решение данного неоднородного ДУ.

1) Найдём y1. Составляем характеристическое уравнение (ХУ): k²-2*k+1=(k-1)²=0. Оно имеет действительные и равные корни k1=k2=1, поэтому y1=C1*e^x+C2*x*e^x, где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2) Займёмся отысканием y2. Так как числа m+i*n=3 и m-i*n=3 не являются корнями ХУ, то y2=e^(m*x)*[R1(x)*cos(n*x)+R2(x)*sin(n*x)]=e^(3*x)*R1(x), где R1(x) - многочлен, степень которого равна старшей из степеней многочленов P1(x) и P2(x). Так как эта старшая степень равна 0, то R1(x)=A, где A - неизвестная пока постоянная. Тогда y2=A*e^(3*x). Дважды дифференцируя y2, подставляя выражения для y2, y2' и y2" в уравнение и приводя подобные члены, приходим к уравнению: 4*A*e^(3*x)=8*e^(3*x). Решая его, находим A=2. Отсюда y2=2*e^(3*x).

3) Находим y(x)=C1*e^x+C2*x*e^x+2*e^(3*x). Дифференцируя y(x) и используя начальные условия, получаем систему уравнений:

C1+2=5

C1+C2+6=8

Решая её, находим C1=3, C2=-1. Отсюда искомое частное решение уравнения y=3*e^x-x*e^x+2*e^(3*x).    


Vasily1975: Ошибся. Сейчас исправлю.
Vasily1975: Ответ исправлен.
Похожие вопросы
Предмет: Русский язык, автор: Ipad2901
Правописание сложных имен прилагательных

1) бледно розовый, голубовато фиолетовый, золотисто желтый, молочно белый
эти прилагательные пишутся ______________, потому что


Свои примеры :

2) журнально газетное объединение, русско немецкий словарь, отчетно перевыборное собрание, шахматно шашечное соревнование.
эти прилагательные пишутся ______________, потому что


Свои примеры :

3) северо западный, Орехово Зуевский, юго восточный,
эти прилагательные пишутся ______________, потому что


Свои примеры :

4) Дико растущие яблони, вечно зеленые растения, машино строительный завод
эти прилагательные пишутся ______________, потому что


Свои примеры :


Тренировочное задание. Распределите по колонкам
Слитно Через дефис








горно лыжная станция, железно дорожное движение, вопросно ответная форма, мутно зеленый, древне греческий, выпукло вогнутая линза, лимонно желтый цвет, мясо молочный комбинат, бело зубый артист, прошло годняя дача, бело снежный пароход, трех палубный теплоход.

Контрольное задание. Запишите правильно слова, поясняя орфограмму: научно фантастический, русско венгерский, иссиня черный, сине глазый, алма атинский, юго западный, перво майский, западно европейский, лево бережный, больше глазые рыбки, двенадцати летний мальчик, бледно лиловый, синие пресиние глаза, восточно славянский язык, трудно доступная местность, трудо любивый человек, крупно панельный дом, документально художественный фильм, длинно ногие журавли, широко плечий юноша, древне русские летописи.