Question

Помогите решить диф. уравнение, если задано начальные условия, найти отдельное решение, пример: y"+3y'-10y=9 $e^{4x}$

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r2 +3 r - 10 = 0

D=3^2 - 4·1·(-10)=49  

Корни характеристического уравнения:

r1 = 2

r2 = -5

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y1 = e^(2x)

y2 = e^(-5x)

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y- = C1 e^(2x) +C2e^(-5x)     Ci ∈ R

Здесь правая часть P(x) = 9, Q(x) = 0, α = 4, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 4 + 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

y· = Ae^(4x)

Вычисляем производные:

y' = 4·A·e^(4x)

y'' = 16·A·e^(4x)

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' + 3y' -10y = (16·A·e^(4x)) + 3(4·A·e^(4x)) -10(Ae^(4x)) = 9·e^(4·x)

или

18·A·e^(4x) = 9·e^(4·x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

1: 18A = 9

Решая ее, находим:

A = 1/2;

Частное решение имеет вид:

y·=1/2e^(4x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y = y- +y. = C1 e^(2x) +C2e^(-5x) +1/2e^(4x).