Question

Помогите исследовать несобственные интегралы на сходимость, пример: $\int\limits^a_1 {\frac{sinx}{x^3} } \, dx$ . Вместо а - ∞. Ответ: сходится

Answer 1

Ответ:

Сходится

Пошаговое объяснение:

$\int\limits_1^\infty \dfrac{sinx}{x^3}dx$

Особая точка $x=+\infty$.

Подынтегральная функция представима в виде $f(x)g(x)$, где $f(x)=sinx,g(x)=\dfrac{1}{x^3}$.

1) $f(x)$ непрерывна на $[1;+\infty)$.

2) $\left|\int\limits_1^A sinxdx\right|=\left|-cosx\right|\limits_1^A=\left|cos1-cosA\right|\leq |cos1|+|cosA|< 2 \;\;\forall A\geq 1$

3) $g'(x)=-\dfrac{3}{x^4}$ непрерывна на $[1;+\infty)$. При этом $g'(x)<0$, а значит $g(x)$ монотонно убывает.

4) $\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=0$

Значит, интеграл сходится по признаку Дирихле.