Question

Помогите разобраться как такие лимиты нахоить
Понимаю, что нужно перевести на экспоненту но не знаю что дальше

$lim_{x \to +\infty} ((\frac{(x-3)^x}{x^x}))$

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(x-3)^x}{x^x}$

сначала сделаем преобразования

$\displaystyle \frac{(x-3)^x}{x^x}=x^{-x}*(x-3)^x=e^\displaystyle{xln(x-3)-xlnx$

тогда

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} e^\displaystyle{xln(x-3)-xlnx}}=}e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (xln(x-3)-xln)}$

теперь ищем предел

${\displaystyle \lim_{x \to \infty} (xln(x-3)-xlnx})$

преобразуем

$\displaystyle xln(x-3)-xlnx}= x(ln(x-3)-lnx) =\frac{ln(x-3)-lnx}{1/x}$

теперь применим правило Лопиталя

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{ln(x-3)-lnx}{1/x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(ln(x-3)-lnx)'}{(1/x)'} = \lim_{x \to \infty} a_n \frac{\frac{1}{x-3} -\frac{1}{x} }{-\frac{1}{x^2} } =$

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}- \frac{3x}{x-3} =-3 \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x-3} =-3$

тогда получим

$\displaystyle e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (xln(x-3)-xln)}=e^{-3}$

и вот ответ

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{(x-3)^x}{x^x} =e^{-3}=\frac{1}{e^3}$

Answer 2

Ответ:

$e^{-3}$

Пошаговое объяснение:$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{(x-3)^x}{x^x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x-3}{x}\right)^x=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac{3}{x}\right)^x=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac{3}{x}\right)^{\left(-\dfrac{x}{3}\right)\cdot {(-3)}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\left(1-\dfrac{3}{x}\right)^{-\dfrac{x}{3}}\right)^{-3}=\left[-\dfrac{x}{3}=t\right]=\lim\limits_{t\to-\infty}\left(\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^{t}\right)^{-3}=(*)$Используем второй замечательный предел $\lim\limits_{x\to\infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e$ и непрерывность функции $f(x)=x^{-3}$:

$(*)=\left(\lim\limits_{t\to-\infty}\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^{t}\right)^{-3}=e^{-3}$