Предмет: Геометрия, автор: sofija91

Помогите решить! В треугольнике проведены две высоты AA1 и СС1. А1НВС1-вписанный четырехугольник (Н-ортоцентр). М-середина АС. Нужно доказать, что МС1 и МА1-касательные к окружности.

cos20093: Ну, точки M, A1, C1 и E - середина BH лежат на окружности Эйлера, и там же лежит B1 - основание высоты BB1. Угол BB1M прямой, => EM диаметр окружности Эйлера. => углы MA1E и MC1E прямые. При этом E - центр окружности (A1BC1H) (надо объяснять?), EA1 и EC1 - радиусы этой окружности. => MA1 и MC1 касательные к ней.

cos20093: Для тех, кому интересно. Есть много способов показать, что 9 точек любого треугольника - середины сторон, основания высот и середины отрезков между вершинами и ортоцентром - лежат на одной окружности.

cos20093: Лично мне нравится такой - 1. надо доказать, что точки, симметричные ортоцентру относительно сторон и середин сторон (всего 6 точек) лежат на описанной окружности. 2. при гомотетии с центром в ортоцентре и коэффициентом 1/2 описанная окружность перейдет в другую окружность, которая пройдет через середины сторон и основания высот. Три другие точки будут бонусом, также как и положение центра окружности Эйлера.

cos20093: Можно поискать среди моих решений, это там есть.

Ответы

Автор ответа: cos20093

Ладно, пусть будет, задачка простенькая и полезная для общего образования.

Отрезок BH - диаметр заданной в задаче окружности (A1BC1H), так как углы BA1H и BC1H прямые. Пусть E - середина BH, то есть центр окружности (A1BC1H). EA1 и EC1 - радиусы этой окружности.

Точки M, A1, C1 и E лежат на окружности Эйлера, и там же лежит B1 - основание высоты BB1. Угол BB1M прямой, => EM диаметр окружности Эйлера => углы MA1E и MC1E прямые => MA1 и MC1 касательные к окружности (A1BC1H).

Приложения: