Question

при каких значениях параметра a уравнение имеет ровно два корня?
$x^6-6ax^5+12a^2x^4-8a^3x^3-7x^2+14ax-6=0$

Answer 1

Ответ:

(-1; 1)

Объяснение:

$x^6-6ax^5+12a^2x^4-8a^3x^3-7(x^2-2ax)-6=0$

Заметим, что $(x^2-2ax)^3=x^6-3\cdot x^4\cdot 2ax+3\cdot x^2\cdot 4a^2 x^2-8a^3x^3=\\=x^6-6ax^5+12a^2x^4-8a^3x^3$

Тогда уравнение имеет вид $(x^2-2ax)^3-7(x^2-2ax)-6=0$

Пусть $x^2-2ax=t$.

$t^3-7t-6=0\\(t+1)(t^2-t-6)=0\\(t+1)(t+2)(t-3)=0\\t=-2;-1;3$

Заметим, что $y=x^2-2ax$ — парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (a; -a²). Функции y = -2, y = -1, y = 3 — прямые, параллельные оси Ox. Парабола должна пересекать только одну из этих прямых (см. рис.), значит, её вершина по y должна быть между прямыми y = -1 и y = 3:

$-1<-a^2<3\\a^2<1\\-1<a<1$