Question

Для функции f (x) = 5(x + 3) найдите все её первообразные, графики которых
имеют с осью абсцисс единственную общую точку.

Answer 1

Ответ:

F(x) = 2,5x²+15x+22,5

Пошаговое объяснение:

$f(x)=5(x+3)\\F(x)=\int {5(x+3)} \, dx =5\int {(x+3)} \, dx =5*(\frac{x^2}{2}+3x)+C=2.5x^2+15x+C$

Пускай графики искомых первообразных F(x) пересекают ось абсцисс в точках с координатами (x; 0). x удовлетворяет следующему уравнению:

$2.5x^2+15x+C=0$

Условие "иметь единственную общую точку" эквивалентно существованию двух совпадающих корней у полученного квадратного уравнения. Это бывает тогда и только тогда, когда дискриминант равен нулю.

$D=b^2-4ac=15^2-4*2.5C=225-10C\\D=0\\225-10C=0\\10C=225\\C=22.5$

Получили, что F(x) = 2,5x²+15x+22,5 — единственная первообразная заданной функции, которая имеет единственную общую точку с осью абсцисс.