Question

Вычислить определенный интеграл 70 баллов

Answer 1

Ответ:

Берем по частям:

$u = {x}^{2} - 3x \: \: \: \: du = (2x - 3)dx \\ dv = \sin(2x) dx \: \: \: \: v = - \frac{1}{2} \cos(2x) \\ \\ ( {x}^{2} - 3x) \times ( - \frac{1}{2} ) \cos(2x) | ^{3}_{0} + \int\limits^{3}_{0} \frac{2x - 3}{2} \cos(2x) dx = \\ = - \frac{ {x}^{2} - 3x }{2} \cos(2x) | ^{3}_{0} + \frac{1}{2} \int\limits^{3}_{0}(2x - 3) \cos(2x) dx \\ \\ u = 2x - 3 \: \: \: du = 2dx \\ dv = \cos(2x) dx \: \: \: dv = \frac{1}{2} \sin(2x) \\ \\ - \frac{ {x}^{2} - 3x }{2} \cos(2x) | ^{3}_{0} + \frac{1}{2} ( \frac{2x - 3}{2} \sin(2x) | ^{3}_{0} - \int\limits^{3}_{0} \sin(2x) ) = \\ = ( - \frac{ {x}^{2} - 3x}{2} \cos(2x) + \frac{2x - 3}{4} \sin(2x) + \frac{1}{4} \cos(2x) )| ^{3}_{0} = \\ = (\frac{ - 2 {x}^{2} + 6x + 1}{4} \cos(2x) + \frac{2x - 3}{4} \sin(2x) )| ^{3}_{0} = \\ = \frac{ - 18 + 18 + 1}{4} \cos(6) + \frac{6 - 3}{4} \sin(6) - ( \frac{1}{4} \cos(0) - \frac{3}{4} \sin(0)) = \\ = \frac{1}{4} \cos(6) + \frac{3}{4} \sin(6) - \frac{1}{4} = \frac{ \cos(6) + 3 \sin(6) - 1 }{4}$