Предмет: Геометрия, автор: kamilmatematik100504

4. У шестиугольника с одинаковыми углами , но не одинаковыми сторонами,

площадь в 3 раза больше правильного шестиугольника со стороной 1 .

Если все длины сторон целые числа , чему равен периметр большего

шестиугольника?

Приложения:

Simba2017: ну они же подобны ?
Simba2017: нет....
Simba2017: ну что периметр меньше 12-это очевидно
Simba2017: значит может быть 7-11

Ответы

Автор ответа: ужнеужели
5

Ответ:  P = 12

Объяснение:

Возможны другие варианты (ну, со сторонами а,а,в,с,с,д) но исследовать стало лень.

Так что бы все 6 сторон были неравными при углах 120 градусов не может быть (кажется :))

Приложения:

antonovm: p = 12 - это не решение , это ответ , полученный рассмотрением одного частного случая , идея достраивания до правильного треугольника хороша , но как её реализовать для общего случая не знаю ( для частного мой ответ совпадает с вашим )
ужнеужели: Думаю, что здесь ответ в том, что бы рассмотреть все частные случаи и исключить невозможное
ужнеужели: И, вообще, олимпиадные задачи не могут быть сложны в математике, тут работает нечто другое, например исследование возможных случаев. То есть самый простой случай, подбор сторон по определенной формуле.
ужнеужели: Если не поленитесь и вычислите, прошу, удалите мое частное решение и дайте Ваше общее. Буду благодарен уступить знающему. :)
antonovm: Михаил меня зовут , уважаемый Исмаил , 12 я получил , используя попарное равенство сторон , примерно как вы ( только через достраивание до правильного треугольника ) , пока не понял , что это лишь частный случай , а как сделать для общего пока не знаю ( не хватает симметрии , 6 неизвестных - это слишком много )
Simba2017: Михаил, жаль не видно вашего решения, просьба опубликовать его-я создаю новый вопрос для этого
Simba2017: https://znanija.com/task/45098443
Simba2017: я думаю . многим оно было бы интересно
Автор ответа: siestarjoki
7

Ответ:

P=12

Объяснение:

Поскольку стороны искомого шестиугольника целочисленные, а углы 120, будем решать на сетке из единичных равносторонних треугольников (ед.).

Правильный шестиугольник со стороной 1 состоит из 6 ед., искомый шестиугольник - из 18 ед.

Искомый шестиугольник виден, его периметр 12.

Попробуем доказать перебором, что он единственный.

Любой шестиугольник с углами 120 (внешние углы 60) можно достроить до равностороннего треугольника, продлив стороны.

Количество ед., из которых состоит равносторонний треугольник, равно квадрату его стороны (сумма последовательных нечетных чисел равна квадрату).

От равностороннего треугольника со стороной t нужно отсечь равносторонние треугольники со сторонами a, b, c и получить площадь 18 ед.

t^2 -a^2 -b^2 -c^2 =18

Из рисунка видно, что t не может быть больше 6 (фигура высотой 1 ед. будет параллелограммом или трапецией, но не шестиугольником).

Перебирая квадраты целых чисел, находим единственное решение:

6^2 -4^2 -1^2 -1^2 =18

Приложения:

Simba2017: рассуждать на фоне такого треугольника-отличная идея, возьму ее на заметку, спасибо!Но вот решение хотелось бы поубедительнее...
kamilmatematik100504: Гениально !
ужнеужели: Присоединяюсь к мнениям выше и возьму на вооружение.
Похожие вопросы
Предмет: Українська мова, автор: natalilugo