Question

7. Для карточки нужно придумать 4-значный пароль .В пароле не может
быть одна и та же цифра 3 или больше раз . В пароле не должно быть
одновременно цифры 9 и двух цифр 1. Сколько правильных паролей
существует?

Answer 1

Пароль - последовательность четырех цифр.

Найдем общее число паролей без каких-либо дополнительных ограничений. Тогда, любая цифра может стоять на любом месте. Цифр для выбора 10, позиций в пароле 4, получаем:

$N_0=10^4=10000$ вариантов

1. Рассмотрим первое ограничение: в паролей не может быть трех или четырех одинаковых цифр.

1.1. Найдем число паролей с тремя одинаковыми цифрами. Повторяющуюся цифру мы можем выбрать 10 способами, оставшуюся уникальную цифру мы модем выбрать 9 способами, кроме того есть 4 способа разместить в пароле эту уникальную цифру. Получаем:

$N_{11}=10\cdot9\cdot4=360$ вариантов

1.2. Найдем число паролей с четырьмя одинаковыми цифрами. Интуитивно понятно, что имеется:

$N_{12}=10$ вариантов

2. Рассмотрим второе ограничение: в пароле не должно быть одновременно цифры 9 и двух цифр 1.

Начнем составлять заведомо неверный пароль. Включаем в него цифры 1, 1, 9 и некоторую цифру Х.

2.0. В качестве Х мы не рассматриваем цифру 1, так как сейчас мы уже рассматриваем пароли, удовлетворяющие первому условию, то есть трех одинаковых цифр в пароле быть не может.

2.1. В качестве цифры Х может быть цифра 9. Тогда, имеется две пары одинаковых цифр. Как-либо упорядочить их в пароле можно 6 способами (ААВВ, АВАВ, АВВА, ВААВ, ВАВА, ВВАА). В этом случае имеется:

$N_{21}=6$ вариантов

2.2. В качестве цифры Х может быть цифра, отличная от 1 и 9. В этом случае у нас есть в 2 раза больше способов упорядочить эти цифры в пароле, показать эти размещения можно заменив в предыдущем перечислении цифры (В, В) сначала на цифры (C, D), а затем на цифры (D, C). Учитывая, что в качестве цифры Х может быть выбрана одна из 8 цифр, получим:

$N_{22}=8\cdot(6\cdot2)=96$ вариантов

3. Для определения числа правильных паролей из общего числа паролей вычтем все ограничения:

$N=N_0-N_{11}-N_{12}-N_{21}-N_{22}$

$N=10000-360-10-6-96=9528$

Ответ: 9528 паролей