Question

50 баллов. исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график

№ 48

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) область определения, непрерывность, четность/нечётность, периодичность функции.

2) асимптоты графика функции.

3) нули функции, интервалы знакопостоянства.

4) возрастание, убывание и экстремумы функции.

5) выпуклость, вогнутость и перегибы графика.

у= (х²-1)³

1) область определения, непрерывность, четность/нечётность, периодичность функции.

а) область определения, непрерывность

функция определена и непрерывна на всей числовой прямой

б) четность/нечётность

y(-x) = ((-x)² -1)³ = (x²-1)³ = y(x) - функция четная

в) периодичность

функция не тригонометрическая (периодичность определяется для тригонометрических функций

2) асимптоты графика функции

функция непрерывна -  вертикальные асимптоты отсутствуют

уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b.

из  определения асимптоты

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (x^2-1)^3$

найдем коэффициент k

$\displaystyle k = \lim_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2-1)^3}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^6-3x^4+3x^2-1}{x} =\infty$

коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует

3) нули функции, интервалы знакопостоянства

a) нули функции

(x²-1)³ = 0  ⇒  x1 = 1;   x2 = -1

б) интервалы знакопостоянства

(x²-1)³ > 0  ⇒ y(x) положительна  при x  ∈(-∞; -1) ∩(1; ∞)

(x²-1)³ < 0  ⇒ y(x) отрицательна  при x  ∈ (-1; 1)

4) возрастание, убывание и экстремумы функции

а) экстремумы функции

y' = 6x(x²-1)²

6x(x²-1)² = 0  ⇒ x1=0; x2=-1;  x3=1  - это критические точки

смотрим значение функции в этих точках

f(0) = -1

f(-1) = 0

f(1) = 0

для определения какие это точки, используем достаточное условие экстремума функции одной переменной.

найдем вторую производную

y'' = 24x²·(x²-1)+6(x²-1)² = 30x⁴-36x²+6

смотрим знак второй производной в критических точках

y''(0) = 6 > 0 -  точка x1 = 0 точка минимума функции

y''(-1) = 0 = 0 -  точка x2 = -1 точка перегиба функции

y''(1) = 0 = 0 -  точка x3 = 1 точка перегиба функции

б) возрастание, убывание

исходя из наличия критических точек мы имеем четыре интервала

(-∞ ;-1);   (-1; 0);     (0; 1);    (1; +∞)

смотрим значение первой производной  6x(x²-1)² на этих интервалах

(-∞ ;-1)  f'(x) < 0  - функция убывает

(-1; 0)  f'(x) < 0  - функция убывает

(0; 1)    f'(x) > 0  - функция возрастает

(1; +∞)  f'(x) > 0  - функция возрастает

5) выпуклость, вогнутость и перегибы графика

а) точки перегиба нашли в п.4  -  точки  x2 = -1 и x3 = 1

б) интервалы выпуклости и вогнутости

у''(x) = 30x⁴-36x²+6

30x⁴-36x²+6 =0  ⇒  х1= -1;  x2= 1;  x3= -√5/5 ;  x4 = √5/5

получим интервалы

(-∞; -1);  (-1; -√5/5);  (-√5/5; √5/5);   (√5/5;  1);   (1; ∞)

смотрим знак второй производной на этих участках

(-∞; -1)   f''(x) > 0  - функция вогнута

(-1; -√5/5)   f''(x) < 0 - функция выпукла

(-√5/5; √5/5)  f''(x) > 0 - функция вогнута

(√5/5;  1)  f''(x) < 0 - функция выпукла

(1; ∞)     f''(x) > 0 - функция вогнута

теперь можно построить график. можно добавить какие-нибудь точки дополнительные. а можно и по уже найденным точкам схематично построить график

я построю при помощи программы