Question

Решите уравнение:
$y''+3y'+2y=3x^2+1$

Answer 1

Задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:

$y'' + 3y' + 2y = 3x^{2} + 1.$

Общее решение такого уравнения представляется в виде суммы общего решения $y^{*}$ соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения и некоторого частного решения $\widetilde{y}$ линейного неоднородного дифференциального уравнения, то есть

$y = y^{*} + \widetilde{y}.$

Рассмотрим два пункта для решения уравнения.

$\text{I}. ~ y^{*}\colon ~ y'' + 3y' + 2y = 0$

Имеем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Метод Эйлера: $y = e^{kx}.$

Характеристическое уравнение:

$(e^{kx})'' + 3(e^{kx})' + 2e^{kx} = 0;$

$k^{2}e^{kx} + 3ke^{kx} + 2e^{kx} = 0 ~~~ | : e^{kx}$

$k^{2} + 3k + 2 = 0;$

По теореме, обратной теореме Виета, определяем корни:

$k_{1} = -2; ~~ k_{2} = -1.$

Получаем решение соответствующего дифференциального уравнения:

$y^{*} = C_{1}e^{k_{1}x} + C_{2}e^{k_{2}x} = C_{1}e^{-2x} + C_{2}e^{-x}$

$\text{II}. ~ \widetilde{y}\colon ~ f(x) = 3x^{2} + 1$

Данная функция вида $f(x) = e^{\alpha x} \cdot P_{n}(x),$ где $\alpha$ — заданное действительное число, $P_{n}(x)$ — многочлен степени $n.$

У нас $\alpha = 0 \neq k_{1} \neq k_{2},$ значит уравнение $y'' + 3y' + 2y = 3x^{2} + 1$ имеет частное решения вида $\widetilde{y} = Q_{n}(x) \cdot e^{\alpha x},$ где $Q_{n}(x) = A_{0}x^{n} + A_{1}x^{n-1} + ... + A_{n}$ и $A_{i}$ — коэффициенты, которые подлежат нахождению.

Итак, $Q_{2} = Ax^{2} + Bx + C.$

$\widetilde{y} = Ax^{2} + Bx + C$

$\widetilde{y}' = 2Ax + B$

$\widetilde{y}'' = 2A$

Подставим $\widetilde{y}, ~ \widetilde{y}', ~ \widetilde{y}''$ в уравнение $y'' + 3y' + 2y = 3x^{2} + 1$ вместо $y, ~ y', ~ y''$ соответственно:

$2A + 3(2Ax + B) + 2(Ax^{2} + Bx + C) = 3x^{2} + 1;$

$2A + 6Ax + 3B + 2Ax^{2} + 2Bx + 2C = 3x^{2} + 1.$

Используем метод неопределенных коэффициентов:

$x^{2}\colon ~ 2A = 3 \Rightarrow A = \dfrac{3}{2};$

$x^{1} \colon 6A + 2B = 0 \Rightarrow 6 \cdot \dfrac{3}{2} + 2B = 0 \Rightarrow B = -\dfrac{9}{2};$

$x^{0}\colon ~ 2A + 3B + 2C = 1 \Rightarrow 2 \cdot \dfrac{3}{2} + 3 \cdot \left(-\dfrac{9}{2} \right) + 2C = 1 \Rightarrow C = \dfrac{23}{4}.$

Итак, $\widetilde{y} = \dfrac{3}{2} x^{2} - \dfrac{9}{2} x + \dfrac{23}{4}.$

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

$y = y^{*} + \widetilde{y} = C_{1}e^{-2x} + C_{2}e^{-x} + \dfrac{3}{2} x^{2} - \dfrac{9}{2} x + \dfrac{23}{4}.$

Ответ: $y = C_{1}e^{-2x} + C_{2}e^{-x} + \dfrac{3}{2} x^{2} - \dfrac{9}{2} x + \dfrac{23}{4}.$