Question

Помощь нужна ваша срочно:(

Answer 1

$1)\\3sinx-4cosx=5$

Решим это уравнение методом вспомогательного угла. Поделим обе части уравнения на квадратный корень из суммы квадратов коэффициентов перед $sinx$ и $cosx$:

$\sqrt{3^2+4^2}=5$

$\frac{3}{5}sinx+\frac{4}{5}cosx=1$

Заметим, что сумма квадратов коэффициентов перед  $sinx$ и $cosx$ равна 1, значит мы можем ввести новый вспомогательный угол $\alpha$, где $sina=\frac{3}{5}; cosa=\frac{4}{5}$

Делаем замену и решаем простейшее тригонометрическое уравнение.

$sinxsina+cosxcosa=1\\cos(x-a)=1\\x-a=2\pi n\\x=a+2\pi n\\a=arccos\frac{4}{5}\\x= arccos\frac{4}{5}+2\pi n$; n ∈ Z

$2)\\\left \{ {{\sqrt{y}+lgx^2=2 } \atop {y+2lgx=14}} \right.$

ОДЗ:

$\left \{ {{y\geq 0} \atop {x>0}} \right.$

---------------

$\left \{ {{\sqrt{y}+2lgx=2 } \atop {y+2lgx=14}} \right.$

Теперь вычтем из второго уравнения системы первое.

$y-\sqrt{y}=12\\y-\sqrt{y}-12=0$

Решим квадратное уравнение относительно $\sqrt{y}$ :

$(\sqrt{y})^2-\sqrt{y}-12=0\\\sqrt{y}= 4 ; \sqrt{y}=-3$

Квадратный корень не может быть равен отрицательному числу, значит $\sqrt{y} = -3$ мы отбрасываем.

$\sqrt{y}=4\\y=16$

Теперь выразим x:

$y+2lgx=14\\2lgx=14-y=14-16=-2\\lgx=-1\\lgx=lg(0,1)\\x=0,1$

$y=16\geq 0\\x=0,1>0$

Ответ: (0,1 ; 16)