Question

$(x+2y)dx - xdy=0$

Нужно решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Можете просто подсказать на что поделить чтобы x был в левой части, а у в правой.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Перепишем его немного по-другому:

(x+2y) dx - x dy = 0

(x+2y) dx = x dy

x + 2y = x dy/dx = x*y'

x*y' - x = 2y

x*(y' - 1) = 2y

y' - 1 = 2y/x

Это не уравнение с разделяющимися переменными, а однородное уравнение 1 порядка.

Решается заменой y = u*x; y' = u'*x + u

u'*x + u = 2u + 1

u'*x = u + 1

du/dx = (u+1)/x

du/(u+1) = dx/x

Вот теперь получили разделяющие переменные.

Берём интегралы слева и справа.

ln |u+1| = ln |x| + ln C = ln |Cx|

u = Cx - 1

y = u*x = x(Cx - 1) = Cx^2 - x