Question

Последовательность задана рекуррентно: х(1)=1; х(n+1)=3х(n)+1. Задать эту последовательность формулой n-ого члена.

Мне без разницы какими методами это будет решено, главно чтобы все было понятно из решения

Answer 1

$x_1=1;\ x_{n+1}=3x_n+1$

Представим второе условие в виде:

$x_{n+1}+k=3(x_n+k)$

Определим k:

$x_{n+1}+k=3x_n+3k$

$x_{n+1}=3x_n+2k$

Сравнивая полученное соотношение с заданным, имеем:

$3x_n+2k=3x_n+1$

$2k=1$

$k=\dfrac{1}{2}$

Тогда, наше представление имеет вид:

$x_{n+1}+\dfrac{1}{2} =3\left(x_n+\dfrac{1}{2}\right)$

Проследим закономерность:

$x_2+\dfrac{1}{2} =3\left(x_1+\dfrac{1}{2}\right)$

$x_3+\dfrac{1}{2} =3\left(x_2+\dfrac{1}{2}\right)=3^2\left(x_1+\dfrac{1}{2}\right)$

$x_4+\dfrac{1}{2} =3\left(x_3+\dfrac{1}{2}\right)=3^3\left(x_1+\dfrac{1}{2}\right)$

...

$x_n+\dfrac{1}{2} =3^{n-1}\left(x_1+\dfrac{1}{2}\right)$

Подставим значение $x_1$:

$x_n+\dfrac{1}{2} =3^{n-1}\cdot\left(1+\dfrac{1}{2}\right)$

$x_n+\dfrac{1}{2} =3^{n-1}\cdot\dfrac{3}{2}$

$x_n+\dfrac{1}{2} =\dfrac{3^n}{2}$

Тогда формула n-ого члена:

$\boxed{x_n=\dfrac{3^n-1}{2}}$