Question

Помогите, пожалуйста, с системой

Answer 1

Відповідь:

Решеним системы уравнений является

( 3/4, 3/2 )

Пояснення:

log x | x - y | = 1

log y | x + y | = 2

Заменим логарифмические выражения на степенные.

х^1 = | х - у |

у^2 = | х + у |

Наличие модуля накладывает следующие ограничения: в обоих выражениях и левая и правая части не могут принимать отрицательные значения.

х >= 0

у^2 >= 0

х - у >= 0

х + у >=0

Условие про не отрицательность у в квадрате выполняется само ( по определению квадрата числа ), а остальные три ограничения мы обязаны учесть в дальнейшем решении.

При отсутствии модуля уравнения

х = х - у

у^2 = х + у

имеют только нулевые решения.

Из первого уравнения следует, что у = 0.

Подставим у = 0 во второе уравнение и получим, что х = 0.

Наличие модуля дает еще один вариант ответа.

Уравнение

х = | х - у |

имеет не нулевое решение при выполнении следующих условий:

х > 0

у > 0

у = 2х

В этом случае получаем:

х = | х - у | = | х - 2х | = | -х |

Подставим у = 2х в уравнение

у^2 = | х + у |

х = у / 2

у^2 = | х + у | = | у / 2 + у | = | 3у / 2 |

Поскольку система имеет не нулевое решение при выполнении условий:

у > 0

у^2 > 0

то уберем знак модуля.

у^2 = 3/2 × у

Преобразуем уравнение

у × у = 3/2 × у

Отсюда

у = 3/2

х = у/2 = 3/4

Проверка

Подставим

у = 3/2

х = 3/4

в уравнения:

х = | х - у |

у^2 = | х + у |

3/4 = | 3/4 - 3/2 | = | 3/4 - 6/4 | = | -3/4 |

3/4 = | -3/4 |

( 3/2 )^2 = | 3/4 + 3/2 |

Числа под модулем положительные, поэтому модуль убираем.

9/4 = 3/4 + 3/2 = 3/4 + 6/4 = 9/4

9/4 = 9/4

Решеним системы уравнений является

( 3/4, 3/2 )

так как решение ( 0, 0 ) - противоречит области допустимых значений логарифма.