Question

Найти частное решение дифференциального уравнения
p(x) = $\frac{-2x}{1+x^2}$
Q(x) = $1+x^{2}$
$x_{0} = 1$
$y_{0} = 3$

Answer 1

Ответ:

$y '- \frac{2x}{1 + {x}^{2} } y = 1 + {x}^{2} \\ \\ y = uv \\ y '= u'v + v'u \\ \\ u'v + v'u - \frac{2x}{1 + {x}^{2} } uv = 1 + {x}^{2} \\ uv + u(v' - \frac{2x}{ + {x}^{2} } v) = 1 + {x}^{2} \\ \\ 1)v' - \frac{2x}{1 + {x}^{2} } v = 0 \\ \frac{dv}{dx} = \frac{2x}{1 + {x}^{2} } v \\ \int\limits \frac{dv}{v} = \int\limits \frac{2x}{1 + {x}^{2} } dx \\ ln(v) = \int\limits \frac{d(1 + {x}^{2}) }{1 + {x}^{2} } \\ ln(v ) = ln(1 + {x}^{2} ) \\ v = 1 + {x}^{2} \\ \\ 2)u'v = 1 + {x}^{2} \\ \frac{du}{dx} \times (1 + {x}^{2} ) = 1 + {x}^{2} \\ \int\limits \: du =\int\limits dx \\ u = x + C \\ \\ y = (1 + {x}^{2} )(x + C) \\ y = {x}^{3} + C {x}^{2} + x + C$

общее решение

$y(1) = 3$

$3 = (1 + 1)(1 + C) \\ C+ 1 = \frac{3}{2} \\ C = \frac{1}{2}$

$y = {x}^{3} + \frac{ {x}^{2} }{2} + x + \frac{1}{2}$

частное решение