Question

Два колхоза могут вместе завершить строительство водохранилища за 6 дней. Если один из них может завершить эту работу на 5 дней раньше, чем другой, сколько дней каждый из них может работать индивидуально, чтобы завершить строительство?

Answer 1

Ответ:

Первый колхоз завершит строительство за 15 дней, второй за 10 дней.

Объяснение:

Примем за $x$ количество дней, за которое первый колхоз завершит строительство водохранилища.

Тогда, так как в условии сказано, что второй колхоз завершит работу на 5 дней раньше, получаем, что второй колхоз завершит строительство водохранилища за: $x-5$ дней.

Работая вместе, они завершат строительство за 6 дней.

Если принять всю работу за единицу, то работоспособность первого колхоза равна: $\frac{1}{x}$, работоспособность второго: $\frac{1}{x-5}$, а их общая работоспособность равна $\frac{1}{6}$.

Теперь мы можем составить уравнение:

$\frac{1}{x} +\frac{1}{x-5} =\frac{1}{6}$

Избавимся от знаменателя, домножив каждую дробь: первую дробь на $x-5$, вторую на $x$. Запишем, что получится:

$\frac{x-5+x}{x^2-5x}=\frac{1}{6}\\ \frac{2x-5}{x^2-5x}=\frac{1}{6}$

Теперь дробь $\frac{1}{6}$ домножаем на знаменатель дроби в левой части, а числитель в левой части на 6:

$6*(2x-5)=x^2-5x$

Раскроем скобки и упростим, помня, что при переносе по другую сторону от знака "=" знак меняется на противоположный:

$12x-30=x^2-5x\\x^2-5x-12x+30=0\\x^2-17x+30=0$

Получили обычное квадратное уравнение, решаем его:

$x^2-17x+30=0\\D=b^2-4*a*c=289-120=169=13^2\\x_{1} =\frac{-b+\sqrt{D} }{2*a}=\frac{17+13}{2}=\frac{30}{2}=15\\x_{2} =\frac{-b-\sqrt{D} }{2*a}=\frac{17-13}{2}=2$

Второй корень является недействительным, так как он не удовлетворяет условию задания, потому что два колхоза, работая вместе, завершат строительство за 6 дней.

Мы получили, что первый колхоз завершит строительство за 15 дней. Тогда второй, зная, что завершит работу раньше: 15-5=10 дней.

Проверим, подставив в изначальное уравнение:

$\frac{1}{15}+ \frac{1}{15-5}=\frac{1}{6}\\ \frac{1}{15}+ \frac{1}{10}=\frac{1}{6}\\\frac{10+15}{150}=\frac{1}{6}\\\frac{25}{150}=\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$- все верно.

Поэтому ответ: Первый колхоз завершит строительство за 15 дней, второй за 10 дней.