Question

Lim x>0 2x ln(1+x)/sin 5x

Answer 1

Разновидность предела $lim_{x to 0} frac{Sinx}{x}$, решать будем арифметикой пределов.

$frac{2x*ln(1+x)}{Sin5x}= frac{5}{5} frac{2x*ln(1+x)}{Sin5x}= frac{5x}{Sin5x} frac{2*ln(1+x)}{5}$

$lim_{x to 0} frac{5x}{Sin5x}=1, lim_{x to 0} ln(1+x)=0$
Первый предел упомянут выше, второй предел следует из непрерывности функции $f(x)=lnx$ на области определения, следовательно $lim_{x to x_0} lnx=lnx_0$. Отсюда получаем: $lim_{x to 0} frac{2}{5}ln(1+x)=0$

Оба частичных предела определены и существуют на |R, следовательно условия арифметики пределов выполняются и предел произведения равен произведению пределов.
$lim_{x to 0} frac{5x}{Sin5x} frac{2*ln(1+x)}{5} =0$