Question

Упростить выражение:

$\sin47^\circ+\cos61^\circ-\sin11^\circ-\sin25^\circ$

Answer 1

Условие:

sin 47° + sin 61° - sin 11° - sin 25°

Решение:

sin 47° + sin 61° - sin 11° - sin 25° = sin 47° - sin 11° + sin 61° - sin 25° = 2 · sin 18° · cos 29° + 2 · sin 18° · cos 43° = 2 · sin 18° · (cos 29° + cos 43°) =2 · sin 18° · 2 · cos 36° · cos 7° = 4 · sin 18° · cos 36° · cos 7°;

Применили формулы:

$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}$

$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$

Покажем, что 4 · sin 18° · cos 36° = 1

4 · sin 18° · cos 36° = x | · cos 18°

2 · 2 · sin 18° · cos 18° · cos 36° = x · cos 18°

2 · sin 36° · cos 36° = x · cos 18°

sin 72° = x · cos 18°

sin (90° - 18°) = x · cos 18°

x · cos 18° = cos 18° | ÷ cos 18°

x = 1

Применили формулы:

sin 2α = 2·sin α · cos α

sin (90° - α) = cos α

Получаем:

4 · sin 18° · cos 36° · cos 7° = cos 7°