Ответьте на вопросы:
1)Что значит решить систему?
2)С чего начинается решение системы?
3)Как решаются линейные неравенства?
4)Как решаем квадратные неравенства?
5)Что общего у квадратных уравнений и неравенств
Ответы
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
систематизация знаний учащихся о решении квадратных уравнений и неравенств;
установление зависимости количества и расположения корней квадратного уравнения от его коэффициентов и значения дискриминанта;
способы решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами.
Глоссарий по теме:
Параметр - (от греч. parametron — отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент из множества элементов того же рода.
Основная литература:
Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. - М.: Просвещение, 2017.
Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни. 2016.
Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень. 2016.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
В курсе средней школы будут рассматриваться показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства. Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных уравнений, нужно уметь решать квадратные уравнения и неравенства, устанавливать и объяснять зависимость вида решения от его коэффициентов и дискриминанта, представлять геометрическую интерпретацию задач.
Квадратные уравнения.
На уроке будем рассматривать различные способы решения квадратных уравнений.
Как определить, сколько корней имеет уравнение, подскажет дискриминант.
Дискриминант – это число, которое находим по формуле
Если D <0 корней нет, если D = 0 один корень, если D> 0 два корня.
Если дискриминант D> 0 , корни можно найти по формуле:
Если D = 0 , то
Рассмотрите пример. Решить уравнение
Шаг 1. Выпишем коэффициенты a, b, c.
Шаг 2. Найдем дискриминант. D=16.
Шаг 3. Запишем формулу корней и подставим значения. Вычислим значения корней:
Заметим:
1.Перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду.
2. Избавьтесь от минуса перед . Для этого надо умножить всё уравнение на -1.
3. Если в уравнении есть дробные коэффициенты, умножьте уравнение на общий знаменатель.
4. Проверяйте корни по теореме Виета. Это просто, когда a=1.
Рассмотрите другие формулы:
, где второй коэффициент b=2k – четное число.
Приведенное квадратное уравнение , старший коэффициент равен a= 1, проще решать по теореме Виета.
Уравнение (х-3) (х+5) =0 является квадратным. Для его решения воспользуйтесь свойством: произведение равно 0, когда один из множителей равен 0.
Осталось вспомнить, как решаются неполные квадратные уравнения. Неполные — значит один или два коэффициента равны нулю.
Для решения систем уравнений применяются все методы решения: подстановки, сложения, графический.
Рассмотрим несколько примеров:
Пример 1.
Если из одного из уравнений можно выразить х или у, применяем метод подстановки. Выразите х из первого уравнения и подставьте во второе. Решите и найдите корни.
Пример 2.
Применяем метод сложения. Выполнив сложение, получаем уравнение , далее x= ±5. Находим у= ±2. Составляем возможные пары чисел.
Записываем ответ: (5; 2), (5; -2), (-5; 2), (- 5; -2).
Пример 3. Иногда проще ввести новые переменные.
Пусть xy=u, x+y=v. Тогда систему можно записать в более простом виде:
Решение смотри в примере 1.