Question

Пожалуйста срочно решить уравнение

sin^2(x/4)-cos^2(x/4)=sin(5p/2-x)

И найти корни принадлижащие отрезку [5p/2; 4p]

Answer 1

Ответ:

10π/3

Пошаговое объяснение:

sin^2 (x/4) - cos^2 (x/4) = sin (5π/2 - x)

x € [5π/2; 4π]

По формуле косинуса двойного угла

cos 2a = cos^2 a - sin^2 a = 2cos^2 a - 1

Поэтому

sin^2 (x/4) - cos^2 (x/4) = -cos (x/2)

По формулам приведения

sin (5π/2 - x) = sin (π/2 - x) = cos x

Подставляем все это в наше уравнение:

-cos (x/2) = cos x = 2cos^2 (x/2) - 1

2cos^2 (x/2) + cos (x/2) - 1 = 0

Замена cos (x/2) = y

2y^2 + y - 1 = 0

D = 1 - 4*2(-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2

y1 = cos (x/2) = (-1 - 3)/4 = -1

x/2 = π + 2πk

x = 2π + 4πk, k € Z

В промежуток [5π/2; 4π] не попадает ни одного корня.

y2 = cos(x/2) = (-1 + 3)/4 = 1/2

x/2 = +-π/3 + 2πn

x = +-2π/3 + 4πn, n € Z

В промежуток [5π/2; 4π] попадает корень x2 = -2π/3 + 4π = 10π/3.